Bonjour, c'est bien une équation de Riccati, tu injectes $y= -\frac{z'}{z}$ dans l'équation, alors $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
La potion habituellement prescrite dans ces cas là est en effet le changement d'inconnue $y= \dfrac {-z'}z$, qui conduit à chercher $z$ telle que: $\: z''(x) =x^2z(x), \:\: z(0) =-z'(0)=1.$
En fouinant du côté des solutions développables en série entière, on dégotte la fonction $z_0$ définie sur $\R$ par:
$z_0$ est $\mathcal C^{\infty}$ sur $\R$, réalise une bijection strictement décroissante de $\R$ sur $\R$, et s'annule en un point $a \in]1;2[.$
(la justification de cette affirmation n'est pas immédiate et demande un peu de travail.)
Ainsi, la solution maximale de l'équation $y'(x) =y(x)^2-x^2, \:\: y(0) =1$ est la fonction $y_0: \: x\mapsto \dfrac {-z'_0(x)}{z_0(x)}$, définie sur $]-\infty;a[.$
On peut obtenir quelques informations sur les variations de cette fonction $y_0$:
$\exists b<0 \:\text { tel que } y_0 \text { est décroissante sur } ]-\infty;b], \:\text{croissante sur } [b;a[, \:\: y_0(b)>0, \qquad \displaystyle \lim_{-\infty}y _0=+\infty,\:\: \lim_{a^-}y_0 =+\infty.$
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c'est bien une équation de Riccati, tu injectes $y= -\frac{z'}{z}$ dans l'équation, alors $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 2.