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Problème de Cauchy

Modifié (26 Jan) dans Analyse
Bonjour,
on a le problème de Cauchy suivant $$y'=-y^2,\quad y(1)=1.$$
Cette équation est non linéaire à variables séparées et on trouve que la solution générale de l'équation est $y(x)=\dfrac{1}{x+c}$, où $c$ est une constante quelconque. Donc $y(1)=1$ implique que $c=0$ et du coup, la solution de ce problème de Cauchy est $y(x)=\dfrac{1}{x}$.
Le souci est que je lis que cette solution est définie sur $]0,+\infty[$. Pourtant elle a l'air d'être définie sur $\R^{\star}$.
Ma question est pourquoi le domaine de définition de cette solution est $]0,+\infty[$ au lieu de $\R^{\star}$ ?
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Je ne suis pas un expert. 
    Cependant, la solution pourrait être sur $\mathbb R^*$. 
    Mais tu peux aussi construire une solution en mettant une constante disons $c_{-}$ sur les négatifs et une autre constante $c_{+}$ sur les positifs… (mais tu as trouvée qu’il n’y en a qu’une seule, pour les positifs : $c_{+}=0$). 

    Ainsi, il n’y a pas une seule solution sur $\mathbb R^*$. 
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour,
    Quand on fait des équations différentielles, généralement, on ne considère que des solutions définies sur un intervalle. C'est arbitraire mais c'est motivé par le fait que si le domaine d'étude se décompose en plusieurs intervalles disjoints, il suffit d'étudier l'équation différentielle sur chaque intervalle. Si au contraire, on ajoute un autre intervalle disjoint ($]-\infty,0[$ en l'occurrence) au domaine d'étude, on peut définir $y$ d'une infinité de façon sur ce deuxième intervalle, donc on perd l'unicité (il faut donner une autre condition du type $y(x_0)=y_0$ dans le deuxième intervalle).
  • C'est ce que je n'arrive pas à comprendre! Puisqu'on a trouvé une seule constante $c=1$ pour que la condition initiale soit vérifiée,donc pourquoi dire que cette solution est définie sur $]0,+\infty[$ et surtout pourquoi dire qu'il y a deux solutions sur $\mathbb{R}^{\star}$?
  • Sur $\Bbb R^*$, $$x\mapsto\left\{\begin{array}{ll} \frac1x&\text{si }x>0 \\ \frac1{x-1}&\text{si }x<0 \end{array}\right.$$ est aussi solution.
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Le (Un ?) théorème de Cauchy-Lipschitz garantit une unique solution maximale sur un intervalle ouvert contenant le point initial. 

    Par exemple :  
    $f$ définie par, 
    si $x>0$, $f(x)=\dfrac{1}{x}$
    si $x<0$, $f(x)=\dfrac{1}{x-2022}$ (coquille corrigée, merci Calli)
    est une solution sur $\mathbb R^*$. 

    Mais la partie sur $]0;+\infty[$ est unique d’après ledit théorème. 

    Édit : il n’y a plus les couleurs pour écrire un texte dans le nouveau forum ?
  • Non Dom, si tu rajoutes une constante comme ça, ce ne sera pas solution.
  • Modifié (26 Jan)
    Le prof a passé près d'1h a essayé d'expliquer ça en utilisant ces mêmes arguments et rien n'est rentré dans ma tête.
    1- Par le théorème de Cauchy-Lipschitsz, on a une solution maximale unique sur un intervalle ouvert qui sontient $x_0=1$. Pourquoi cet intervalle ne serait pas $]-1,+\infty[$ au lieu de $]0,+\infty[$ ?
    2- Qu'est-ce qui est faux dans le raisonnement suivant : quand on calcule la solution de ce problème, on pose $y(1)=1$ implique que $\dfrac{1}{x+c}=1$ qui implique que $c=0$ et ce quelque soit le signe de $x$. Le signe de $x$ n'est pas intervenu dans ce calcul de la constante $c$. Du coup pourquoi et comment on voit d'un coup que cette solution n'est pas définie sur $\mathbb{R}^{\star}$ mais plutôt sur $]0,+\infty[$ ?
  • Parce que ton $]-1;+\infty[$ n’est pas un ouvert où la fonction est définie. 

  • Vous parlez de la fonction $y(x)=\dfrac{1}{x+c}$? Elle est définie sur $]-\infty,-c[ \cup ]-c,+\infty[$
    Mais on a trouvé le $c$ pour lequel la condition initiale est satisfaite, il vaut $c=0$ et ce indépendamment du signe de $x$ puisque pour trouver la constante $c$ on a posé $x=1$!
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Oui mais pour ce que j’en comprends, l’unicité est garantie sur un intervalle ouvert contenant $1$. 
    Édit : je récris ta question « Du coup pourquoi et comment on voit d'un coup que cette solution n'est pas définie sur $\mathbb R^*$ mais plutôt sur $]0;+\infty[$ ? »
    Cette fonction est bien définie sur $\mathbb R^*$. 
    Cette fonction est aussi bien définie sur $]0;+\infty[$. 
    Cette fonction est même encore bien définie sur $]\frac{1}{3};\pi[$. 
    Ou encore sur $[0,7 \, ; 1,2]$. 
    Ce n’est pas la bonne question.
    Remarque : j’assume un abus de langage quand je dis « cette fonction » est aussi bien définie sur cet ensemble, ou celui-ci ou telle autre. 
    Normalement, il ne s’agit pas des mêmes fonctions puisque les ensembles de définitions changent. Mais ce n’est pas le sujet, ne compliquons pas. 
  • Modifié (26 Jan)
    Donc il y a deux points. 
    1- il y a unicité sur un intervalle ouvert contenant $x_0=1$. L’intervalle $]-1,+\infty[$ est aussi un ouvert qui contient $x_0=1$. Donc pourquoi spécialement $]0,+\infty]$.
    2- pourquoi il n y a pas unicité de ce problème de Cauchy dans $\mathbb{R}*$?
    J’ai vu que vous avez trouvé plusieurs solutions qui appartement satisfont toutes la condition initiale $y(1)=1$. Mais je ne comprends pas comment vous les avez trouvées.
  • $x\mapsto \frac1x$ défini sur $]0,\infty[$ n'est pas prolongeable en 0, donc il n'y a pas de solution définie sur $]-1,\infty[$.

    Si tu regardes la preuve de ta formule $\frac1{x+c}$, la constante $c$ provient d'une primitivation. Donc elle n'est constante que sur chaque intervalle du domaine de définition. C'est pour ça qu'il peut y avoir sur $]-\infty,0[$ une constante $c$ différente de sur $]0,\infty[$.
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    1) l’intervalle ouvert $]-1;+\infty[$ n’est pas un ensemble de définition pour cette fonction. 
    2) il n’y a pas unicité sur $\mathbb R^*$. 
    Cet ensemble n’étant pas un intervalle ouvert, rien n’est garanti par le théorème. Parfois ça marche (à vérifier), parfois comme ici, ça ne marche pas.
    3) le problème de la réunion se fait en $0$
    comme il n’y a plus la solution initiale (comme ça ne contient pas $1$), on met la condition initiale à la poubelle sur tout (enfin on peut affiner…) ce qui est en dehors de $\mathbb R_+^*$ et qui ne contient pas $0$. 
    Et là, tu as bien fait le travail, il y a une infinité de solutions, avec cette constante $c$ qui peut être n’importe quel réel.
    4) une dernière remarque qui j’espère n’embrouillera pas : on peut aussi proposer une solution sur un ensemble comme $]0;2[\cup]10;20[$ avec l’unique $x\mapsto 1/x$ qui marche sur $]0;2[$ (unique à cause de la condition initiale) et une autre expression sur l’autre intervalle comme $x\mapsto 1/(x-100)$.
    Encore un autre ensemble : $]0 \, ; \, 0,5[\cup ]0,8\, ; \,2]$ où l’on peut bricoler, etc.
  • Le point qu’a soulevé Calli n’est pas clair. La solution générale de l’équation est $1/(x+c)$. On est d’accord. Cherchons maintenant la constante c pour laquelle la condition initiale $y(1)=1$ est satisfaite. 
    Pourquoi et comment on trouve cette constante c différente selon le signe de $x$? Svp
  • Modifié (26 Jan)
    Jusqu'à présent, j'avais toujours cru que 1 est dans $]0,+\infty[$ et n'est pas dans $]-\infty,0[$. On m'aurait trompé ?
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Ce n’est pas un problème de signe. 

    La constante $c$ vaut $0$ dès que l’on souhaite exprimer la fonction sur la partie de son ensemble de définition qui est un intervalle ouvert contenant $1$
    La constante $c$ peut être n’importe quoi d’autre sur d’autres parties de l’ensemble de définition (à condition que le dénominateur ne s’annule pas sur ces parties, tout de même !). Cette constante peut être différente sur chacun des autres intervalles ouverts « maximaux » de l’ensemble de définition.
  • Modifié (26 Jan)
    Plus sérieusement, on cherche une solution définie sur un voisinage de 1, et dérivable. Le calcul mène à $x\mapsto \frac 1 x$ qui est définie et dérivable sur l'ouvert maximal $]0,+\infty[$. C'est tout !
    Cordialement.
  • Modifié (26 Jan)
    D’accord. Donc on a existence est unicité du problème de Cauchy sur $]0,+\infty[$ qui est un intervalle ouvert contenant 1. 
    1- J’ai compris que $\R^*$ n’est pas un intervalle ouvert donc ok ne peut pas parler d’unicité de la solution sur $\R^*$.
    2- Quand vous dites que sur $\R^*$ la constante $c$ peut prendre n’importe quelle valeur. Ce sont des solutions pour l’équation $y’=-y^2$ mais est-ce que ces solutions sont continues ?
  • Si elles sont dérivables, oui…

    Par contre, attention dans notre cas précis le dénominateur est $x+c$. 
    Il faut être vigilent et ne pas choisir un $c$ qui rendrait ce dénominateur nul…
  • Donc en fait ce problème de Cauchy admet une infinité de solutions sur $\R^*$. Il s’agit de 
    $y(x)=1/x$ sur $]0,+\infty[$ 
    et 
    $y(x)=1/(x+c)$ sur $]-\infty,0[$
    Cette solution n’est pas prolongeable en 0 car $1/x$ n’est pas finie au voisinage de 0.
    enfin, le théorème de Cauchy-Lipschitsz nous donne l’existence et l’unicité sur un intervalle ouvert contenant $x_0=1$. Donc l’unicité est uniquement sur $]0,+\infty[$.
    Tout est bon?
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Oui, attention au $c$, qui par exemple ne peut pas être $27$ car on aurait un problème pour $x=-27$. 

    Je dirais que sur $]0;+\infty[$ il y a unicité, oui. 
    Mais il y a aussi unicité sur $]0;4[$. 
    C’est en ce sens que je réfute la phrase « l’unicité est uniquement sur $]0;+\infty[$ ». 
    Sauf si l’on entend l’unicité au sens « solution maximale » (mais un PRO va peut-être confirmer que c'est bien cela que l’on entend). 

    Bon, il faut se fixer les idées. 
    Comme le dit Gérard, on travaille comme tu as fait pour trouver la tête des bonnes fonctions, ensuite on trouve $c=0$ avec la solution initiale, enfin on prend le plus grand intervalle ouvert qui contient $1$ MAIS qui soit un domaine de définition (dénominateur, racine carrée, logarithme, etc.).
    On tombe bien sur $]0;+\infty[$. 

  • Modifié (27 Jan)
    Comme d'habitude, si au lieu de citer un théorème "à peu près", on le cite "exactement", il n'y a plus aucun problème de compréhension.
    Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme (en se restreignant au cas qui nous intéresse) :
    Soit $\Omega$ un ouvert de $\R^2$ et $f$ une fonction continue de $\Omega$ dans $\R$ qui est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable.
    Pour tout couple $(t_0, y_0)$ dans $\Omega$, il existe un unique intervalle ouvert $I$ contenant $t_0$ et une unique fonction $y$ (dite maximale) définie sur $I$ vérifiant l'équation différentielle $(E) : \quad y'(t)=f(t, y(t))$ sur l'intervalle $I$ et la condition initiale $y(t_0)=y_0$.
    Les autres solutions de cette équation différentielle vérifiant cette même condition initiale sont toutes des restrictions de cette solution maximale.

    Ici, la solution $x\mapsto \frac{1}{x}$ définie sur $I=\left]0,+\infty\right[$ est la solution maximale vérifiant la condition initiale $y(1)=1$.

    Le fait de prolonger cette fonction sur un intervalle disjoint de $I$ ne répond pas à la question.
    Ce n'est plus dans le cadre du théorème ni dans le cadre de la résolution d'un problème de Cauchy !

  • MrJMrJ
    Modifié (27 Jan)
    Il est imprécis (voir faux) d’écrire que la solution générale est $x\mapsto \dfrac{1}{x+c}$ sans préciser l’ensemble de définition de $x$. Si on considère $D=\R\setminus\{-c\}$, l’expression précédente est fausse : la constante est à priori différente sur les deux intervalles composant $D$.

    Le résultat caché derrière la résolution est qu’une fonction dérivable sur un intervalle de dérivée nulle est constante.
  • Tu peux raisonner ainsi
    Le couple $]0,+\infty[, x\mapsto 1/x)$ est solution de ton problème de Cauchy par une vérification immédiate (peu importe comment tu l'as trouvé, en regardant sur ton voisin, en intégrant au brouillon, par une intuition géniale ou autre).
    Si on note (I,f) l'unique solution maximale, I est un intervalle ouvert qui contient $]0,+\infty[$ et $f$ coïncide avec $x\mapsto 1/x$ sur $]0,+\infty[$.
    Déjà, l'intervalle $I$ n'est pas majoré.
    Ensuite, s'il contenait 0, la fonction $f$ serait continue à droite en $0$ donc $x\mapsto 1/x$ admettrait une limite finie en $0^+$ : c'est impossible.
    Donc $I=]0,+\infty[$ et le couple initialement présenté est bien l'unique solution maximale.

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