Loi de $U_p$

mathspe

Bonjour, je n'arrive pas à déterminer la loi de $U_p$.
 On note $Pr$ l'ensemble des nombres premiers, il existe $U_p:\N^*\to \N$ telle que $\forall x\in\N^*,\  x=\prod_{p\in Pr} p^{U_p(x)}$.
Soit $P$ la probabilité sur $\N^*$ définie par $\forall x\in\N^*,\ P(\{x\})=\frac{c}{x^2}$, où $c$ est une constante strictement positive.
Ma question quelle est la loi de $U_p$ pour $p\in Pr$ ?
Merci.

Kolakoski

Calcule la constante $c$ qui fait de $P$ une mesure de probabilité...
$U_p$ est la valuation $p$-adique. La probabilité, sous $P$ que $U_p=n$ avec $n$ un entier est 
$$P(p^n\mathbb{N}^*)=\sum_{k=1}^{+\infty}P(\{p^nk\})=\frac{c}{p^{2n}}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$
Si tu as bien calculé $c$, il devrait y avoir une jolie simplification...
K.

mathspe

oui $c\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k^2}=1$.  Mais  je suis désolé si ma question est naïve, pour qoui $P(U_p=n)= \frac{1}{p^{2n}}$ 

mathspe

Je crois que $U_p=n$ si et seulement si $ p^n$ divise $x$ et $ p^{n+1}$  ne divise pas  $x$.
donc  $P(U_p=n)=P((p^n \text{divise} x )\text{moins} (p^{n+1}\text{divise} x))=P(p^n \text{divise} x)-P( p^{n+1}\text{divise} x)= \frac{1}{p^{2n}}- \frac{1}{p^{2n+2}}$

Kolakoski

Du coup $c=6/\pi^2$.
Effectivement je me suis trompé, j'ai calculé $P(U_p\geqslant n)$... ces quantités caractérisent la loi et on peut retrouver la probabilité $P(U_p=n)$ via, pour $n\geqslant 0$,
$$P(U_p=n)=P(U_p\geqslant n)- P(U_p\geqslant n+1)$$

mathspe

Merci beaucoup @Kolakoski