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Matrice par bloc et polynôme caractéristique

Bonjour,
on considère $4$ matrices $A$, $B$, $C$ et $D$ de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Si $A$ est inversible (hypothèse $h_1$) et commute avec $C$ (hypothèse $h_2$), on a ce joli résultat\[ \det\begin{bmatrix} A&B\\C&D\end{bmatrix} \overset{\small h_1}{=} \det (A)\det(D-CA^{-1}B) \overset{\small h_2}{=} \det(AD-CB)\;.\] Maintenant je souhaite utiliser ce résultat pour calculer le polynôme caractéristique de la matrice $M=\begin{bmatrix} 0&B\\C&D\end{bmatrix}$. Pour cela je construis \[ \chi_M(X) = \det (X I_{2n}-M)=\det\begin{bmatrix} XI_n&-B\\-C&XI_n-D\end{bmatrix}\;.\] et habituellement je vois la matrice $X I_{2n}-M$ comme un élément de $\mathcal{M}_{2n\times 2n}(\mathbb{R}[X])$. Autrement dit, je vois l'indéterminée $X$ comme un élément de l'anneau $\mathbb{R}[X]$. Mais pour pouvoir utiliser le résultat précédent, je dois être en mesure de l'inverser.

Ma question arrive enfin ici : est-ce que pour continuer à avancer je peux froidement passer dans le corps des fractions et donc voir $X$ comme un élément de $\mathbb{R}(X)$ et une fois le calcul terminé constater que j'ai bel et bien affaire avec un polynôme et considérer à nouveau $X$ comme finalement un élément de $\mathbb{R}[X]$.

Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da

Réponses

  • Modifié (26 Jan)
    Tout dépend à quel niveau tu te trouves.
    Si tu es en prépa ou en L2, tu ne connais que les matrices sur un corps donc tu n'es pas autorisé à écrire $M_n(\mathbb{R}[X])$. Ton prof a dû utiliser $M_n(\mathbb{R}(X))$ pour introduire le polynôme caractéristique. Dans $\mathbb{R}(X)$, il n'y a aucun problème pour inverser $X$ donc il n'y a pas de question à se poser : tu peux diviser par $X$ sans problème !
    Tout est donc pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles, on est contents de ne travailler qu'avec des corps en prépa et en L2 !

    Si tu es en L3 ou plus, tu as appris avec stupeur (on s'en doutait un peu...) que l'on peut faire des matrices avec des anneaux (voire des semi-anneaux) et que des gros mots comme $M_n(\mathbb{R}[X])$ ou $M_n(\mathbb{Z})$ n'ont rien de vulgaire.
    Il faut alors se méfier un peu ! De nombreux résultats ne se généralisent pas, notamment tout ce qui touche aux dimensions, bases, etc.
    Pour des anneaux comme $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}[X]$, qui sont intègres, l'astuce fréquente est de se ramener au corps des fractions ce qui permet ici de clore le débat.
    Pour des anneaux abéliens, on arrive encore à faire des trucs, via quelques astuces. Le résultat que tu as énoncé reste a priori vrai sur ces anneaux.
    Pour des anneaux quelconques, voire des semi-anneaux, ça devient horrible...
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour,
    merci énormément pour ta réponse. J'ai initialement une formation de physicien/électronicien et quand on nous a présenté le polynôme caractéristique on nous disait en substance "qu'il fallait voir $X$ comme un scalaire" ce qui est finalement suffisant quand on souhaite juste faire le calcul et on n'entrait pas dans le détail surtout qu'on ne distinguait pas vraiment non plus le polynôme de la fonction polynomiale associée. J'essaye, pour ma satisfaction personnelle, de creuser certains points et je n'ai donc pas de contrainte particulière de niveau (le seul frein étant ma compréhension finalement).
    Bref, parlant de polynôme caractéristique je pensais qu'on prenait donc dès le départ $X$ comme un polynôme mais si finalement la méthode classique est de se placer d'entrée de jeu sur les fractions pour travailler dans un corps ça me va très bien, la vie sera plus simple surtout que je ne connais pas vraiment la théorie des matrices sur les anneaux.
    Cordialement,
    Mister Da
  • Modifié (27 Jan)
    $\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$Plus simplement encore, tu peux faire le calcul de $\chi_M(x)$ pour $x$ un élément de $\R$ (voire de $\C$) et une fois que tu as obtenu une expression polynomiale pour suffisamment de valeurs de $x$, tu en déduis le polynôme $\chi_M$, par injectivité de la fonction qui à un polynôme de $\K[X]$ associe la fonction polynomiale associée définie sur une partie infinie de $\K$ lorsque le corps $\K$ est infini.
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