Par inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout $x\in\R^+$, $f(x)g(x)\geq x^2$ donc $f(x)^2+g(x)^2-2x^2=(f(x)-g(x))^2+2(f(x)g(x)-x^2)\geq 0$.
Pour tout $x\in\R^+$, \[\begin{align}(g\circ f-f\circ g)'(x)&=\exp(x^2-f(x)^2)-\exp(-x^2+g(x)^2)\\&=\exp(x^2-f(x)^2)(1-\exp(f(x)^2+g(x)^2-2x^2))\\&\leq 0.\end{align}\]
Par conséquent, $g(f(1))-f(g(1))\leq g(f(0))-f(g(0))=0$.
Les deux premiers points ne sont pas vraiment utiles...
Réponses
- $f$ et $g$ sont croissantes et impaires.
- Pour tout $x\in\R^+$, $g(x)\leq x\leq f(x)$.
- Par inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout $x\in\R^+$, $f(x)g(x)\geq x^2$ donc $f(x)^2+g(x)^2-2x^2=(f(x)-g(x))^2+2(f(x)g(x)-x^2)\geq 0$.
- Pour tout $x\in\R^+$, \[\begin{align}(g\circ f-f\circ g)'(x)&=\exp(x^2-f(x)^2)-\exp(-x^2+g(x)^2)\\&=\exp(x^2-f(x)^2)(1-\exp(f(x)^2+g(x)^2-2x^2))\\&\leq 0.\end{align}\]
- Par conséquent, $g(f(1))-f(g(1))\leq g(f(0))-f(g(0))=0$.
Les deux premiers points ne sont pas vraiment utiles...