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Règle et compas sur parabole

Bonjour,
Une parabole étant donnée par son tracé, construire son foyer et son axe.
A+

Réponses

  • Bonjour,
    Si on a trouvé la position du foyer, la construction de l'axe est facile :



  • RE
    Personnellement, je détermine dans l'ordre la direction de l'axe, l'axe et le foyer grâce aux propriétés élémentaires (milieux des cordes parallèles, rayon incident parallèle à l'axe, etc.).
    Il me semble que cette construction revient à calculer les éléments d'une parabole (axes, foyer, directrice) à partir de l'équation en $x, y$ sans passer par l'équation réduite.
    A+
  • Bonjour à tous
    Rayon incident parallèle à l'axe? etc?
    C'est un peu court, jeune homme!
    Il faut être un peu plus précis!
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour à tous
    Il était bien connu dans les siècles antérieurs que l'isobarycentre de quatre points cocycliques d'une parabole était situé sur son axe.
    Donc nos aïeux avaient l'axe!
    Comment continuaient-ils?
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour
    Ils mettaient la femme au foyer.
    (Non, ne me remerciez pas).
  • Modifié (26 Jan)
    Merci PetitLutinMalicieux
    A défaut de savoir sans doute la moindre once de géométrie, tu es bien obligé de te réfugier dans un humour machiste qui n'est plus dans l'air du temps
    Donc une fois l'axe tracé, ils choisissent deux points $M$ et $N$ sur la parabole.
    Ils tracent le milieu $P$ de $MN$ et le projettent orthogonalement en $p$ sur l'axe qu'ils viennent de construire.
    D'autre part la médiatrice de $MN$ coupe cet axe en $q$.
    Alors le vecteur $\overrightarrow{pq}$ est le vecteur paramètre de la parabole!
    Zensuite?
    Amicalement
    pappus


  • RE
    Je trace deux cordes parallèles, dont les milieux $I, J$ définissent une droite parallèle à l'axe.
    La droite $(IJ)$ coupe la parabole en $M$, point à partir duquel je mène la perpendiculaire à $(IJ)$, perpendiculaire qui coupe la parabole en $M'$.
    La médiatrice de $MM'$ est l'axe.
    Du point $M$ je mène la parallèle aux cordes, donc la tangente en $M$ à la parabole.
    Je trace la normale en $M$ à la parabole.
    La droite symétrique de la droite $(IJ)$ par rapport à la normale en $M$ coupe l'axe au foyer.
    A+
  • Modifié (27 Jan)
    Merci Piteux_gore
    Pour une fois, tu mets les mains dans le cambouis!
    Bravo!
    Ta construction est évidemment plus simple que la mienne mais il ne faut rien exagérer:
    Aujoud'hui les paraboles géométriques sont aussi connues que les évangéliques!
    Et comme d'habitude, c'est le vieux pappus qui doit se farcir la corvée de la figure!
    Amicalement
    pappus

  • Modifié (27 Jan)
    Bonjour à tous
    Voici pour mémoire, la fin de ma construction:
    $$F=S+\dfrac{\overrightarrow{pq}}2$$
    Amicalement
    pappus

  • Modifié (27 Jan)
    Merci pappus. Et pour une ellipse, comment fait-on pour retrouver ses axes et ses foyers ?
    Autre question : une courbe pour laquelle les isobarycentres de quatre points cocycliques sont alignés est-elle forcément une parabole ?
  • Mon cher Ludwig 
    Commence comme Piteux_gore pour récupérer le centre!
    Ensuite tu peux laisser place à ton imagination la plus débordante!
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour ,
    une autre possibilité pour le foyer 
    Cordialement
  • Merci fm_31!
    Encore une histoire de défunt point de Frégier!
    Amicalement
    pappus

  • Ci-dessous une construction du centre d'une ellipse "à la Poncelet-Steiner", c'est-à-dire à partir d'un seul cercle et de la règle non graduée. Comment ça je n'ai que ça à faire ? :smile:
    On trace un cercle qui coupe l'ellipse en deux points $A$ et $B$. À partir d'un point $I$ de l'ellipse on construit la parallèle au diamètre $AA'$ passant par $I$, qui recoupe l'ellipse en $J$ (je n'ai pas affiché les droites utilisées pour cette construction classique, de façon à alléger la figure).
    $IH$ coupe $AJ$ en $P$, $IA$ coupe $HJ$ en $Q$. 
    Comme le centre $O$ recherché appartient à la droite $PQ$ il ne reste plus qu'à refaire la même construction à partir du diamètre $BB'$, pour obtenir une droite $P'Q'$. On aura alors le point $O$ comme intersection des droites $PQ$ et $P'Q'$.
    $25$ droites en tout.
    Amicalement,
    Ludwig


  • Bonjour ,

    autre construction du centre d'une ellipse


     

    Cordialement
  • Modifié (28 Jan)
    Oui, je suis parti de là en fait. Remarquons au passage que les tangentes en $M$ et $N$ sont parallèles à $(AB)$ et $(CD)$.
    Ma construction se simplifie lorsqu'on met le centre du cercle sur l'ellipse : $18$ droites au lieu de $25$.
    Pour chaque construction du type Poncelet-Steiner, il y a un nombre minimal de droites en-dessous duquel il n'est pas possible de descendre. Trouver une construction avec le minimum de droites est intéressant, car une construction minimale utilisera forcément des propriétés essentielles de la géométrie. 


  • RE
    On peut simplifier quelque peu la construction que j'ai donnée.

    Je trace deux cordes parallèles, dont les milieux $I, J$ définissent une droite parallèle à l'axe.
    La droite $(IJ)$ coupe la parabole en $M$, point à partir duquel je mène la perpendiculaire à $(IJ)$, laquelle coupe la parabole en $M′$.
    La médiatrice de $MM′$ est l'axe.
    De $M$ je mène la parallèle $(D)$ à l'axe et la parallèle $(T)$ aux cordes, qui est la tangente en $M$.
    La droite symétrique de $(D)$ par rapport à $(T)$ coupe l'axe au foyer.

    A+
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