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Série numérique

Bonjour,

Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ définie par $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et $u_n=-1/n^2$ sinon. Il s'agit de justifier que la série $\sum u_n$ converge. 

En notant $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ pour certaines valeurs de $n$, on se doute que la majoration $0\leqslant S_n\leqslant 2\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k^2}$ suffit. 

Sauf que je me rends compte que je ne sais pas prouver rigoureusement cette majoration. 

Réponses

  • Pour montrer que la série est convergente, il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente.
    Pour tout $n\in \N^*$, on a $\displaystyle \sum_{k=1}^n |u_n|= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} - \sum_{\substack{i \text{ carré}\\1\leqslant i \leqslant n}} \dfrac{1}{i^2} + \sum_{\substack{i \text{ carré}\\1\leqslant i \leqslant n}} \dfrac{1}{i}$, soit $\displaystyle \sum_{k=1}^n |u_n| = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}- \sum_{j=1}^r \dfrac{1}{j^4} + \sum_{j=1}^r \dfrac{1}{j^2}$, avec $r = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$.
    D'où $\displaystyle \sum_{k=1}^n |u_n|\leqslant \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} + \sum_{j=1}^r \dfrac{1}{j^2} \leqslant 2\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$.
  • Merci, c'est plus propre que mon intuition de base.
  • Par une méthode similaire, on peut même en déduire la somme.
  • J'ai essayé et on trouve sauf erreur $\zeta(2)-2\zeta(4)$.
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