Une partie entière toujours paire — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Une partie entière toujours paire

Modifié (25 Jan) dans Arithmétique
Bonjour
L’énoncé consiste à prouver que $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]\ $ est toujours paire. Sachant que $[x]$ désigne la partie entière de $x$. 
J’ai essayé la récurrence mais je suis restée bloquée au milieu . Merci de m’aider. 

Réponses

  • (Ça ne va pas aider !) Cette suite est fichée.
  • Modifié (25 Jan)
    Bonjour,
     L'idée d'une démonstration dans le cas $n$ et $n+1$ non premier et $n$ suffisamment grand (première occurence à 8) n'est pas trop dure à trouver, dans ce cas, $\frac{(n-1)!}{n(n+1)}$  est un entier, et il est pair. Dans le cas où l'un des deux est premier, j'en sais rien, mais pour $n$ suffisamment grand, on se doute que la "partie décimale" sera de forme (edit, j'avais écrit une erreur là:) $\frac{p-1}{p}$ où $p$ est le nombre premier parmi $n$ et $n+1$ (mais je ne crois pas que cette information soit pertinente, en tout cas, moi, je ne sais pas quoi en faire).
  • Modifié (25 Jan)
    On suppose $n \geqslant 5$.

    Si $n=p$ est premier : 

    (i) vérifier que le nombre $N := \dfrac{(p-1)!}{p+1}$ est un entier pair ;

    (ii) vérifier que $p$ divise $N+1$ (théorème de Wilson), et donc que $\dfrac{N+1}{p}$ est un entier impair et conclure.

    Dans le cas où $n+1=p$ est premier, même argument en remplaçant $N$ par $M := \dfrac{(p-2)!}{p-1}$.
  • Pardon, mais je n’arrive toujours pas à voir pourquoi si n ou n+1 est premier N est pair et M est pair. Puis-je avoir plus d’indications, merci.
  • Si, par exemple, $n=p \geqslant 5$ premier, comme $p+1 = 2 \times \frac{p+1}{2}$, on en déduit que $p+1$ divise $(p-1)!$ et donc $N$ est entier, qui est pair car divisible par $p-1$.
  • Modifié (26 Jan)
    Merci beaucoup pour votre explication, je vois plus clair maintenant. 
  • De rien. À noter pour ceux que ça intéresse (Chaurien, Gebrane, Etanche, etc), ce problème provient de Asia Pacific Mathematical Olympiad (APMO) 2004. Voir : https://omec-mat.org/wp-content/uploads/2016/11/APMO-2004-Sol-Eng.pdf
  • Modifié (26 Jan)
    @noix de totos  Comment sais-tu que je suis attentivement ce fil ? :smiley:J’espère que @sarra va nous donner une rédaction de cet exercice.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Gebrane : je viens ici assez peu souvent, mais suffisamment pour penser que tu suis attentivement (quasiment) tous les fils.   B)
  • Je ne sais pas comment je vais prendre cela
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (27 Jan)
    Je ne vois pas comment on pourrait prendre ça autrement que comme un compliment.

    Faut pas toujours voir du négatif là où il n'y en a pas.
  • Modifié (31 Jan)
    Bonjour
    Une autre manière de faire  est d'écrire, si $n$ est premier :
    $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!+1}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1}-\dfrac{1}{n} \Big]$.
    Et si $n+1$ est premier, en remarquant dans ce cas (d'après le théorème de Wilson) que $(n-1)! \equiv 1 \mod(n+1)$ :
    $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!-1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \Big]$.
    Al-Kashi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!