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Deux relations métriques

Modifié (22 Jan) dans Géométrie
Bonjour,
dans la figure ci-jointe, on souhaite montrer deux relations métriques :
$$\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=1\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{SK}{SM}+\dfrac{RK}{RM}=2.$$
Je suis arrivé à le faire grâce à une utilisation du théorème de Ménélaus. Avez-vous d'autres approches ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (23 Jan)
    Bonjour,
    On peut utiliser le théorème de Van Aubel.
    On l'utilise dans le triangle AKB.
    Soit $E$ le projeté orthogonale du point K sur la droite AB.
    On a : $\quad \dfrac{KF}{FE} = \dfrac{KP}{PA} + \dfrac{KQ}{QB}.$
    Il suffit alors de montrer que $KF=FE.$
    Cordialement.
  • Modifié (23 Jan)
    Bonsoir,
    c'est bien le théorème de Van Aubel qui est en point de mire...
    Aussi faut-il l'amener...sans calcul...
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Merci messieurs !
  • Bonjour,
    cette figure a attiré mon attention...pour une solution correspondant à l'idée de Bouzar, cette figure est la projection conique d'une figure mettant en jeu un triangle et de...F provenant du point de Gergonne et participant à un quaterne harmonique...

    Un autr epoint de vue :
    en utilisant une relation métrique dans un triangle rectangle, puis par deux fois le quadrilatère de Pappus, nous pouvons conclure...

    Finalement, la complexité de la rédaction, le théorème de Ménélaüs est vraiment efficace....

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (24 Jan)
    Comme d'habitude, on contemple la figure pour voir si ssassajoute ou si ssassesoustrait. Une autre méthode est d'interpréter ces relations comme:  $$\dfrac{\overrightarrow{KP}}{\overrightarrow{PA}}+\dfrac{\overrightarrow{KQ}}{\overrightarrow{QB}} -1=0\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{\overrightarrow{SK}}{\overrightarrow{SM}}+\dfrac{\overrightarrow{RK}}{\overrightarrow{RM}}+2=0$$
    L'objectif est-il d'apprendre à rigourer, ou d'apprendre à se gourer ?

    On fait alors quelques calculs et on trouve
    \[ \left\{ s={\frac { \left( p-r \right)  \left( p+q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }},t=\frac 1 2 \right\} ,
        \left\{ s={\frac { \left( p-r \right)  \left( p+q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }},t={\frac {p \left( p+2\,q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }} \right\} \]
    Bilan : si $M$ est au milieu ($t=1/2$), alors la condition (2) devient une condition sur $K$, équivalente à la condition (1).  Il reste à interpréter la deuxième valeur de $t$.
    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour,

    je crois, mais je ne suis pas sûr, que j'ai une preuve qui "évite" l'utilisation des théorèmes de Van Aubel et de Ménélaüs. En se référant à la figure postée par Bouzar, on a : 
    $$
    \dfrac{KP}{PA}=\dfrac{FK}{AD}=\dfrac{KC}{DC}, \qquad\qquad \dfrac{KQ}{QB}=\dfrac{FK}{CB}=\dfrac{KD}{DC}.
    $$
    Par suite, $\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=\dfrac{KC+KD}{DC}=1$.

    Bonne journée.
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