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DL et dérivabilité

Bonsoir, 

Je suis tombé sur l'énoncé ci-dessous, donné à des étudiants de L1.
Je n'arrive pas bien à comprendre l'articulation des questions 3) et 4). Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL... Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat{f}$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ? 

Merci d'avance de m'éclairer là-dessus !


Réponses

  • Modifié (January 2022)
    Pour ta remarque,  Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL.
     pour f continue en a, on a f est dérivable en a $\iff$ f admet un dl à l "ordre 1 en a
    Non ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Tu peux donner le DL par calcul, et non pas en invoquant Taylor-Young, qui nécessiterait effectivement de vérifier la double dérivabilité. Il suffit de développer le logarithme puis le $\cos$. Ensuite l'existence d'un DL d'ordre $2$ implique en particulier la dérivabilité.
  • @Poirot Ce que j'ai dit est une bêtise ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Merci pour vos réponses ! Effectivement, je pensais trop à Taylor-Young, et j'avais oublié que l'on pouvait aller dans l'autre sens.

    @gebrane Je crois que si $a$ est un point de dans le domaine de définition de $f$, un DL d'ordre $0$ en $a$ équivaut à la continuité en $a$, et donc un DL d'ordre 1 équivaut à la dérivabilité, sans devoir supposer auparavant la continuité. Si $f$ n'est pas définie en $a$, alors on considère son prolongement par continuité en ce point (qui existe dès lors qu'on a un DL d'ordre $0$ si je ne m'abuse). 
  • Modifié (January 2022)
    Ce que tu as dit est correct mais ne répondais pas au questionnement de Kerphi.
    Au passage, l'existence d'un DL d'ordre $2$ n'implique pas la dérivabilité deux fois, donc la question "Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat f$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ?" admet une réponse négative.
  • Modifié (January 2022)
    Poirot dit "Ce que tu as dit est correct mais ne répondais pas au questionnement de Kerphi". J'ai répondu seulement à son étonnement. Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL.
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    Citation :  Je suis Jack 
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