Composition de deux symétries orthogonales du plan

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Bonjour, j'ai un problème en géométrie en général qui est que je ne sais jamais quel niveau de rigueur est suffisant car les preuves par dessin sont une chose, mais il y a toujours des équations derrière que je ne sais pas s'il faut toujours les décrire et ce n'est pas évident.

Par exemple ici on veut étudier la réflexion par deux plans. Il y a deux cas comme sur les photos. Dans le premier cas par exemple, on fait passer un plan $\pi$ orthogonal a $\pi_1$ et $\pi_2$ contenant $p$. On pourrait écrire son équation déjà et montrer qu'il est bien orthogonal, je veux bien admettre que cette étape n'est pas très dur. Après il y a l'affirmation comme quoi, restreintes au plan $\pi$, les applications $\sigma_{\pi_1}$ et $\sigma_{\pi_2}$ sont juste les réflexions par les droites $\pi_1\cap \pi,\pi_2\cap \pi$. Comment montrer ceci à l'aide des équations?

Dans le deuxième cas j'aurais un peu près les mêmes questions. En fait c'est très clair sur un dessin mais en essayant avec les équations c'est un peu plus difficile on dirait...

Note: Pour le premier cas, j'ai fait quelques tentatives: Si $\pi_1$ s'écrit comme $\vec A_1+\lambda \vec u+\mu \vec v$ alors on peut écrire $\pi$ comme $\vec p+\lambda \vec n+\mu \vec u$ où $\vec n=\vec u\times \vec v$. Écrivons encore $\vec x\in \pi_1$ si $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+d_1=0$.

On a alors que $\vec p-\lambda \vec n\in \pi_1$ où $\lambda = \frac{\langle p,n\rangle+d_1}{\|n\|^2}$. Alors la droite $\pi_1\cap \pi$ a comme vecteur directeur $\vec n\times \vec v=-\vec u$ et donc s'écrit comme $d:\vec p-\lambda \vec n+\tilde \mu+\vec n,\; \tilde \mu\in \mathbb R$.

Pour décrire la réflection par rapport à cette droite, on note que $\vec n$ est un vecteur orthogonal à cette droite, donc $$\begin{align*} \sigma_d(\vec x) &=\vec x-2\langle \vec x-\vec p+\lambda \vec n ,\vec n\rangle \vec n\\ &=\vec x-2\langle \vec x,\vec n\rangle \vec n+2\langle \vec p,\vec n\rangle \vec n-2\lambda \|\vec n\|^2 \vec n \end{align*}$$Et ensuite en remplacant $\vec x$ par $\vec p$ on obtient $\sigma_d(\vec p)=\vec p-2\lambda \|\vec n\|^2\vec n$. À comparer avec la réflexion orthogonale par le plan $\pi_1$ donné par $\vec p-2\lambda \vec n$...

On peut encore continuer mais ça m'a l'air assez pénible comme ça... Merci pour votre aide.