Jordanisation matrice

mohamed1354@gmail.com

$\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}$Bonjour, 
J'ai la matrice ci dessous à  jordaniser. 
soit $T=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -4 & 3 & -1 & -1 & 0 \\
2 & -8 & 4 & 0 & -4 & -1 \\
-2 & 4 & -2 & 1 & 2 & 0 \\
-2 & 5 & -1 & 0 & 5 & 1 \\
-1 & 3 & -4 & 1 & -3 & 0
\end{pmatrix}
$

J'ai trouvé qu'il y a une seule valeur propre $ \lambda = 1 $. Ensuite j'ai calculé  les sous espaces  caractéristiques

$ N_{1} = \ker (T - I )~ = \Vect ((0,2/3 , 1 ,0 ,-1/3, -1), (1/2, 0, 0, 1, 1/2, -1 ))$,

$ N_{2} = \ker (T - I )^{2}= \Vect ( (1, 1, 0, 2, 0, 0), (3, 0, 1, 6, 0, 0) (5, 0, 0, 10, 1, 0) (2, 0, 0, 4, 0, 1) ) $

$ N_{3} = \ker (T- I) ^{3} = \Vect ( (1, 0, 0, 2,  0, 0), e_{2}, e_{3}, e_{5}, e_{6} ) $
$ N_{4} = \ker (T- I) ^{3} =\mathbb{R} ^{6} $ .
J'ai ensuite  pris  $ v_{6} = e_{4} \in   N_{4} $ mais  $e_{4} \notin N_{3}    $ puis j'ai posé $ v_{5}=(T- I) * v_{5}= (0, -1, 0, 0, 0, 1) $
 $ v_{4}=(T- I) * v_{5}= (-2, 5, 7, -4, -4, -4) $
 $ v_{3}=(T- I) * v_{4}= (1, -2, -3, 2, 2, 1) $
 $ v_{2}=(T- I) * v_{3}= (0, 0, 0, 0, 0, 0) $
C'est là que j'ai problème, je ne vois pas comment trouver $ v_{2} $ et $ v_{1} $, j'ai essayé de prendre les  2 vecteurs que j'ai trouvés en calculant $ N_{1} $ mais ça ne marche pas.
 Je suis bloqué et je n'arrive plus a avancer. 
Merci d'avance pour l'aide.

Rescassol

Bonjour,

CITATIONS DE LA CHARTE DU FORUM

1. (...) (!) Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste...

(...)

4.3 - précisez votre niveau lorsque vous attendez l’aide d’un intervenant afin que celui-ci puisse se mettre à votre portée ;

Cordialement,
Rescassol

JLapin

En demandant à un logiciel qui fait du calcul formel ?

OShine

C'est vrai que maintenant on a des sites en lignes qui font tout et moi-même quand je calcule les valeurs propres et sous-espaces propres je vérifie sur un site en ligne. En plus, certains détaillent même les calculs. 

bd2017

Bonjour. Merci pour la  question, cela m'a permis de jordaniser, ce que je n'ai pas fait depuis longtemps.

P.S.  Je ne suis pas certain qu'un logiciel  donne une matrice P  telle que $P^{-1} A P= J.$ 

D'autre part s'il  faut inverser P je veux bien utiliser un logiciel pour calculer $P^{-1}$ (puisque je sais le faire).  Mais  si un logiciel donne la jordanisation complète pourquoi pas, mais il faut s'assurer qu'on sache le faire à la main.

mohamed1354@gmail.com

Excuser moi j'avais par erreur poster avant de finir de recopier. J'ai modifié le premier poste pour que vous pussiez voir là où je suis bloqué.

mohamed1354@gmail.com

Je suis en M1.

mohamed1354@gmail.com

bd2017 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2337312/#Comment_2337312

[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]

C'est en essayant de trouver la base dans laquelle la matrice T est de Jordan que je suis  bloqué (au niveau de $ v_{2} $ et $ v_{3} $)

[Camille Jordan (1838-1922) prend toujours une majuscule. AD]

Rescassol

Bonsoir,

Dans Matlab $[V J]=jordan(T)$ donne:

$$V=\left(\begin{array}{rrrrrr}2.0 &   3.0 & -1.0 &   1.0 &   6.5 &  0.5\\    4.0 &  -8.0 &  3.0 &   0.0 & -17.0 & -0.5\\    6.0 & -11.0 &  2.0 &   0.0 & -25.5 & -6.0\\   -4.0 &   6.0 & -2.0 &   0.0 &  13.0 &  1.0\\   -4.0 &   6.0 & -2.0 &   0.0 &  15.0 &  2.0\\   -2.0 &   7.0 & -1.0 &   0.0 &  12.5 &  4.5\end{array}\right)$$

$$J=\left(\begin{array}{rrrrrr}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\     0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\     0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\     0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\     0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\     0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Cordialement,
Rescassol

mohamed1354@gmail.com

Rescassol

j'essaye de comprendre comment on calcule les vecteurs de la base dans la quelle la matrice est de Jordan,  j'ai appliqué la méthode que le prof nous à montrée en cours  mais arrivé à $ v_{2} $  ça ne marche pas car on a un vecteur nul. 

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

JavierT

Message supprimé : j'ai dit une bêtise

Cependant, donner des vecteurs propres avec des fractions, ce n'est pas une bonne idée.

Xcas donnera des valeurs exactes contrairement à Matlab qui est un logiciel de calcul numérique.

Rescassol

Bonsoir,

Mon vecteur, ou plutôt celui de Matlab, est proportionnel au tien.
De plus, on a bien $T=VJV^{-1}$.

Cordialement,
Rescassol

Joaopa

La jordanisation d'une matrice, c'est comme le monstre du Loch Ness : tout le monde en parle, personne l'a jamais vu.

J'ai demandé à plusieurs collègues un algorithme pour jordaniser. Pas un ne connaît. Dans les exemples des bouquins, on a toujours des matrices particulières ce qui permet de s'en sortir en bidouillant. La demande du posteur est légitime. Je serai, moi aussi, content de voir un algorithme.

Entrée : matrice $M$, polynôme caractéristique et ses racines avec multiplicités.

Sortie : matrice inversible $P$ et matrice $N$ composée de blocs de Jordan associées aux valeurs propres de $M$ telles que $M=P^{-1}NP$.

df

Il existe un algorithme (dit de Pittelkow-Runckel) qui permet de déterminer la matrice réduite de Jordan d’un endomorphisme. Il avait été l’objet d’un problème de « spéciales ». L’étude commence par les endomorphismes nilpotents.

df

Application (extrait)
Réduction de Jordan de la matrice
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
-3 & -2 & -1 & 2 &1 \\
3 & 1 & 1 & -2 & -1 \\
-3 & 0 &-1&2&1 \\
-3 & -2 &-1 &2 & 1 \\
-3 & -1 & -1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Appliquer l’algorithme en prenant la base canonique de $\mathbb{R}^5$.

Héhéhé

J'ai aussi constaté ce manque de méthode en pratique pour effectuer la réduction de Jordan d'une matrice. On peut légitimement se demander à quoi sert la réduction de Jordan en pratique (théoriquement c'est parfois utile), personnellement je n'en sais rien. 

Dom

N’était-ce pas à l’origine (je ne sais pas « quand ? »), une fois la matrice jordanisée, une manière de calculer plus aisément ses puissances successives ?

Evidemment, s’il faut faire tourner un programme pour jordaniser, autant faire tourner un programme pour calculer des puissances…

bd2017

Bonjour

Tu y es presque. J'ai refait les calculs  de façon à avoir la même première chaîne.  Il reste donc  à trouver $v_1$ et  $v_2.$

Pour finir choisir $v_1$  en premier qui doit être dans  $N_1$  mais non colinéaire à $v_3$  bien entendu.  

Je prends donc  le premier vecteur de $N_1$ que tu as trouvé (où plutôt je le multiplie par 15  pour éviter les fractions).

Donc $v_1=(0,10,15,0,-5,-15) $   et $v_2$ solution de $(T-I)v_2=v_1$.  

Après calcul je trouve $v_2$  et donc 

$$ P=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & -7 & 1 & -2 & 0 & 0 \\
 10 & -4 & -2 & 5 & -1 & 0 \\
 15 & -1 & -3 & 7 & 0 & 0 \\
 0 & -14 & 2 & -4 & 0 & 1 \\
 -5 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 \\
 -15 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0\end{array}\right)\qquad\text{et}\qquad  J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$