Intersection de sous-classes selon NBG
Bonjour
Dans mon travail, je dois fréquemment considérer des classes propres et
effectuer des manipulation élémentaires avec. Donc je travaille avec la théorie des ensembles NBG : " Neumann-Bernays-Gödel " (avec l'axiome de choix global, ou de "limitation de taille").
Je dois
parfois considérer la plus petite sous-classe $Y$ d'une classe $X$ telle
qu'une condition $\psi[Y]$ dans le langage de NBG (avec un prédicat $\operatorname{Set}$ et un seul type) est satisfaite, sachant que $\psi[X]$ est
satisfaite. Dans les cas qui m'intéressent, je peux toujours me
débrouiller pour construire $Y$ comme union d'une famille croissante de
sous-classes indexée par les ordinaux. Mais je me demande s'il est aussi
possible de considérer directement l'intersection des sous-classes $Z$ de
$X$ satisfaisant à $\psi[Z]$. Ma question est donc: NBG prouve-t-elle
l'existence de cette intersection en général ?Les théorèmes de compréhension / spécialisation dans NBG
imposent que la formule selon laquelle on "spécialise" ne quantifie que
sur des ensembles, ce qui n'est pas le cas pour la formule en $y$ 'pour
toute sous-classe $Z$ de $X$, si $Z$ satisfait à $\psi[Z]$ alors $y$ est dans $Z$'. En
même temps, j'ai souvent été surpris par ce que des théories des ensembles en apparence peu puissantes étaient capables de prouver. J'imagine que l'obstruction principale (en plus des simples limitations de NBG) serait d'utiliser ces intersections de sous-classes (donc unions de sous-classes) pour définir la satisfaction des formules dans tous les
modèles.
En dernière remarque, je m'attendrais plutôt à ce que l'existence, si elle est prouvable, le soit sans utiliser l'axiome de limitation de taille ou l'axiome du choix.Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
C'est juste que j'aimerais quand-même éclairer le lecteur sur cette question, et ne pas dire une connerie en prétendant qu'on ne peut pas toujours définir ces intersections, si c'est en fait toujours possible.
Je ne comprends pas en revanche où tu veux en venir. Pour moi le problème n'est pas de formuler "$X$ est la plus petite classe satisfaisant $\psi[Y:=X]$" dans NBG mais plutôt la question de l'existence qui ne semble pas se déduire facilement des axiomes de NBG ni des théorèmes de base, ni de la conservativité au dessus de ZFC...
Peut-être que le dernier lien de Thierry Poma (merci!) répond à ma question (positivement) puisque je vois qu'on y considère des intersections. Encore qu'il semble s'agir d'intersections de familles de classes, ce qui ne fonctionnerait pas dans ce cas puisqu'il n'y a pas de façon de faire de la "famille des sous-classes de $X$" un objet du langage (une classe).
En fait je me rends compte que j'avais mal formulé ce que je cherchais, car je veux seulement considérer l'intersection des classes satisfaisant à $\psi$, sans forcément que cette dernière satisfasse elle-même à $\psi$ (car je le montre après).
Donc en tout cas merci beaucoup pour vos réponses, ça va sûrement m'aider à trancher mon autre question.
les propos tenus dans le cadre de 1°).
Thierry