Montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ pour tout $a,b>0$ en utilisant $2ab\leq a^2+b^2$.

Merci 

Réponses

  • Bonsoir,

    Tu devrais être capable de penser toute seule à élever au carré.

    Cordialement,
    Rescassol

  • L’expression de gauche est la moyenne harmonique,  celle de droite est la moyenne quadratique. 
  • J'ai élevé au carré j'ai trouvé  $$8a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2$$ je peux faire  quoi? 

    Pour la moyenne harmonique  on ne doit  pas l'utiliser 
    Merci 
  • Modifié (January 2022)
    Bonsoir
    Tu développes et tu factorises. 
    Il fait aussi te tenir la main quand tu traverses la rue ?
    Cordialement,
    Rescassol
  • Mais alors on utilise pas que $2ab\leq a^2+b^2$?
  • Bonsoir,

    Si, après avoir fait ce que j'ai écrit.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Si $a=0$, on vérifie aisément que la propriété est vraie.
    Si $a \neq 0$, on peut introduire $c=\frac{b}{a}$ 
    On se retrouve avec une seule variable $c$, au lieu de 2 variables $a$ et $b$.
    Ce n'est pas vital, on peut faire sans passer par ça. Mais ça peut provoquer un déclic.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (January 2022)
    je trouve $$8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$$
  • Modifié (January 2022)
    L'inégalité que tu dois démontrer est équivalente à \[(a^2+b^2)(a+b)^2-8a^2b^2\ge0.\] C'est cette expression qu'il faudrait développer (complètement !) et factoriser.
    Je m'attends à trouver un $+4a^2b^2$ avant de retrancher $8a^2b^2$, ce qui va faire un terme $-4a^2b^2$ qui permet de « remonter les calculs » avec un signe différent.
    Edit : Tiens, ce n'est pas ce qui se passe.
  • Bonsoir,

    Tout dans le même membre !!! Il faut vraiment tout te faire !! Tu es en quelle classe ? En 3e ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (January 2022)
    je voulais terminer mais li site a bugué.
    $$
    8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2\leq 2(a^2+b^2)^2
    $$
    donc $4 a^2b^2\leq (a^2+b^2)^2$ ce qui est équivalent à $2ab\leq a^2+b^2$ 
    c'est juste ?
  • Modifié (January 2022)
    Nora-math a dit :
    Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ pour tout $a,b>0$ en utilisant $2ab\leq a^2+b^2$.
    En utilisant uniquement cette inégalité, ça va être difficile.
    Si en plus tu utilises $2a^2b^2\leq a^4+b^4$ et les conseils ci-dessus tu devrais t'en sortir.
  • Bonsoir,

    Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (January 2022)
    Sans faire aucun calcul, suivant l'indication
    $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$
    $\sqrt{ab} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$
    et tu multiplies terme à terme
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Merci a tous pour votre aide 
  • @Rescassol Moi j'accepte volontiers de me tenir la main en géométrie  :p
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Rescassol a dit :
    Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.
    Lycée aujourd’hui, même si on a pu faire ça en collège il y a longtemps.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour,

    Oui, Nicolas, mais c'est demandé par une intervenante ayant déjà posé des questions sur des opérateurs hilbertiens ou la mesure de Lebesgue.

    Cordialement,
    Rescassol

  • :#
    Ha oui, en effet. C’est le genre d’échauffement qu’on pose en colle en première année.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (January 2022)
    Bonjour,
    Si je ne me trompe pas :
    \[\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]
    Je crois que le compte en question est utilisé par plusieurs personnes.
  • Modifié (January 2022)
    Bonjour
    Dans tous les cas, il serait bon de connaître le niveau d'études des demandeurs et des questions avant de répondre.
    Cordialement,
    Rescassol
  • Modifié (January 2022)
    @marsup Oui c'est juste mais ta majoration n'est pas meilleure, on peut faire mieux
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    Citation :  Je suis Jack 
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