Hyperplan et stabilité

OShine

Bonsoir,
Un nouvel exercice qui me semble bien compliqué. 
Pour la question $a$, si on cherche la dimension d'un sous-espace vectoriel un moyen est de déterminer une base. Mais je ne trouve pas comment faire.
J'ai eu aussi l'idée suivante. Soit $H$ un hyperplan de $E$, alors c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle $u$. Mais je ne vois pas comment avancer.

Manda

Est-ce que tu peux déjà essayer de deviner qu'elle va être la dimension de l'espace en question (a) ?

lourrran

Souvent, avant de conclure, il faut passer par des préliminaires.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n
Soit H un hyperplan de E
Question préliminaire : quelle est la dimension de H ?

TrackTrick

D'accord avec toi Lourran... et aussi essayer de "se faire une représentation" d'un hyperplan en dimension 3, et de ce que serait ce sous-espace vectoriel... (voir la question d d'ailleurs).

D'autre part, tu as "l'idée du noyau d'une forme linéaire non nulle"... tu devrais y voir un lien fort avec la définition du sous espace qui est défini...

skazeriahm

OShine tu fais des exercices trop durs pour toi.

Il faut que tu puisses avancer, faire des choses par toi même sinon ça ne sert à rien.

OShine

Skazeriahm je ne crois pas que ça existe des exercices plus faciles non ? Il me semble que ce sont des exercices de niveau moyen de prépa. 
Dans mon livre de MP/MP* les exercices sont beaucoup plus difficiles que ceux là. 
Il y a que dans les écrits de CCPINP que j'arrive à faire beaucoup de questions, mais maintenant les sujets ne sont plus intéressants, ils mettent de l'informatique partout dans le sujet.
Lourran si $H$ est un hyperplan de $E$ on a $\dim H= \dim E -1$
Manda, non je ne vois pas la dimension de tête.
Un hyperplan d'un espace de dimension $3$ est un plan vectoriel. 
Je ne trouve pas comment utiliser que $H=\ker (\varphi)$ avec $\varphi$ une forme linéaire non nulle.
Posons $A= \{ u \in E^{*} \ | \ u(H)=0 \} = \{ u \in E^{*} \ | \ u ( \ker( \varphi) )= \{0 \} \}$
Ici je ne vois pas comment avancer.

totocov

une façon sympathique de définir une application linéaire est de la définir sur les vecteurs d'une base...

JLapin

Commence par traiter le cas où $E$ est de dimension 2.

verdurin

Passent les jours et passent les semaines
Ni temps passé
Ni les amours reviennent
Sous le pont Mirabeau coule la Seine

OShine

@totocov oui je suis d'accord, j'ai utilisé ce résultat récemment pour un exercice mais je ne vois pas comment l'utiliser ici.

@JLapin
Si $\dim E=2$ alors $H$ est une droite vectorielle.  Soit $B=(e_1,e_2)$ une base de $E$ avec $e_1 \in H$. 

$Vect(e_1)$ est une base de $H$ .

Soit  $f \in \{ u \in E^{*} \ | \ u(H)= \{0 \} \}$. Alors $f$ est une forme linéaire de $E$ dans $\K$ et on a $f(e_1)=0$ 

Or $E=Vect(e_1) \oplus Vect(e_2)$

Soit $x \in E$. Alors $x=x_1+ x_2$ avec $(x_1,x_2) \in Vect(e_1) \times Vect(e_2)$. Alors $f(x)=f(x_1+x_2)=f(x_2) $

J'ai l'impression de tourner en rond, je ne vois pas comment trouver la dimension de ce sous-espace vectoriel.

lourrran

Dans un espace de dimension n, un hyperplan a pour dimension n-1.
Le truc qu'on étudie, je ne sais pas, c'est beaucoup trop loin dans ma mémoire. Et je ne comprends rien à la moitié des notations. Mais je parierais sur dimension 1... à 10 contre 1, et en joker, au cas où, un tout petit jeton sur 'dimension n-1'.
Et une chose est sûre, c'est que la démonstration tient en 2 petites lignes.

gerard0

Non, tu ne tournes pas en rond ...  tu as seulement la flemme d'aller au bout de ce que tu avais commencé. Tu ne te sers même pas de ce que tu as dit, et tu appelles maman pour qu'elle te donne la main pour traverser ...

Arrête de demander, prends toi en main, cherche seul !!

OShine

Gerard0 je pense avoir trouvé. Il me semble que pour déterminer une dimension, on utilise souvent des isomorphismes. Je me souviens d'une démonstration où on montre que $E^{**}$ est isomorphe à $E$ pour démontrer qu'ils ont la même dimension. Je suis le même modèle.

Soit $B=(e_1, \cdots, e_{n-1},e_n)$ une base de $E$ adaptée à la décomposition en somme directe $E= H \oplus Vect(e_n)$ avec $e_n \notin H$.


Soit l'application $f : \{ u \in E^{*} \ | \ u(H)=0 \} \longrightarrow Vect(e_n) \\ u \mapsto u(e_n)$

L'application est bien définie car $u(e_1)= \cdots =u(e_{n-1})=0$

Cette application est linéaire, et elle est surjective (évident). Montrons qu'elle est injective. Soit $u \in \ker (f)$. Alors $u(H)=0$ et $u(e_n)=0$. L'application $u$ s'annule sur tous les éléments de la base $B$, elle coïncide donc avec l'application nulle. Donc $u=0$.

Ainsi, $\boxed{\ker (f)= \{0 \} }$ et $f$ est injective. 

Donc $f$ est un isomorphismes d'espaces vectoriels, on en déduit que $\dim \{ u \in E^{*} \ | \ u(H)=0 \} = \dim Vect(e_n)$

$Vect(e_n)$ étant une droite vectorielle donc de dimension $1$, il en résulte que : $\boxed{\dim (\{ u \in E^{*} \ | \ u(H)=0 \}) = 1}$

JLapin

OShine a dit :

Cette application est linéaire, et elle est surjective (évident).

Détaille pour voir ?

OShine

Pour la surjectivité, soit $y \in Vect(e_n)$.
On cherche à résoudre l'équation $f(u)= y$ d'inconnue $u$. Soit $u(e_n)=y$. 
Comme $y \in Vect(e_n)$, il existe $a \in K$ tel que $y= a e_n$ , Comme $u(e_n) \in Vect(e_n)$ il existe $b \in K$ tel que $u(e_n)=b e_n$
On cherche $u$ tel que $b e_n = a e_n$ donc $(b-a) e_n=0$ Comme $e_n$ est non nul on a $b=a$
Il existe une forme linéaire $u$ vérifiant $f(u)=y$, c'est la forme linéaire qui a la même composante que $y$ suivant $e_n$. 

Heuristique

Par définition, $u \in E^*$ donc $u(e_n) \in Vect(e_n)$ n'a aucun sens.

Ta fonction est mal définie.

TrackTrick

En dimension finie... pas besoin de montrer les deux! Mais bon, ça permet de peut-être voir mieux ce qui se trame derrière tout ça !

Par contre, je trouve que tu compliques inutilement la question. Tu avais la bonne intuition en dimension 2, il suffit d'adapter... passe par la dimension 3 si tu veux. Et puis, tu sembles perdre de vue ce que tu avais bien dit, $H=\ker (\varphi)$ avec $\varphi$ une forme linéaire non nulle. Ce qui au passage, par le théorème du rang, justifie en dimension finie, l'équivalence entre hyperplan et dimension $n-1$.

Bon, bref, tu l'as quand même vu à ta façon, et il existe donc un supplémentaire de dimension 1, c'est-à-dire une droite vectorielle... ou encore, pour tout $x \in E\setminus H,\ E=H \oplus Kx$.

Je t'ai suggéré la dimension 3 pour avoir cette idée de projection...

En fait pour répondre très rapidement à la question, il faut penser espace dual (fortement suggéré par l'énoncé) et ton $A= \{ u \in E^{*} \mid u(H)=0 \}$ est "simplement" l'orthogonal (au sens du dual) de $H$, et alors $\dim A=\mathrm{codim\,} H=1$... Mais ce que je raconte n'est peut-être pas très clair si tu n'es pas au fait de la dualité...

Pour info, ceci se montre via le théorème d'isomorphisme qui te fourni immédiatement la réponse, avec la projection canonique sur $G/H = G/ \ker (\varphi)$ qui est isomorphe à $Im (\varphi)$ qui est de dimension 1 puisque $\varphi$ est une forme linéaire non nulle.

OShine

TrackTrick si j'ai des bases sur la dualité, je commence à comprendre les notions élémentaires de dualité. 
Je n'ai jamais entendu parler d'orthogonal d'un dual, je ne vois pas de produit scalaire ici. Je ne crois pas que ce soit au programme de prépa.
Pour le théorème d'isomorphisme c'est en dehors de mes connaissances. 
Heuristique je n'ai pas écrit ça... Ma fonction n'est pas définie sur $E^{*}$ mais sur $E^{*} \cap \{ u \in E^{*} \mid u(H)=0 \}$ je ne comprends pas le problème avec mon application.

totocov

$u(e_n)$ est un scalaire, pas un vecteur. Donc ton application $f$ ne peut pas avoir vect$(e_n)$ comme espace d'arrivée.

OShine

Ah oui une forme linéaire est à valeurs dans $K$. 
Mon application est à valeurs dans $K$. Soit $y \in K$. On cherche à résoudre $u(e_n)=y$. Il suffit de prendre la forme linéaire $u$ qui envoie $e_n$ sur $y$.
Par contre la question $b$ j'ai de grosses difficultés.
J'ai essayé de démontrer que $\ker u= \ker (u \circ f)$ mais je n'ai pas réussi.

raoul.S

En utilisant la 1 c'est quasiment immédiat.

TrackTrick

Par définition, $u \circ f$ appartient à quel ensemble ?

TrackTrick

OShine a dit :

TrackTrick si j'ai des bases sur la dualité, je commence à comprendre les notions élémentaires de dualité. 
Je n'ai jamais entendu parler d'orthogonal d'un dual, je ne vois pas de produit scalaire ici. Je ne crois pas que ce soit au programme de prépa.
Pour le théorème d'isomorphisme c'est en dehors de mes connaissances.

Attention, je n'ai évidemment pas parlé de produit scalaire (de toute façon, E n'est à priori pas prehilbertien), ni même d'orthogonal d'un dual mais d'orthogonal au sens dual. C'est juste une définition, mais qui, je crois, fait partie des notions élémentaires de dualité. Et qui a une résonance (voir une "raisonance" ) avec le produit scalaire dès lors que E a la bonne structure... on peut alors montrer que toute forme linéaire peut-être vue comme un produit scalaire, c'est ce que l'on fait en terminale au lycée, sans le dire: un plan de l'espace a pour équation $ax+by+c=0$, c'est à dire $u(x,y,z)=0$ alors si j'écris la matrice $U$ de $u$ d'une base $E$ à $K$ et $X=(x,y,z)^T$, alors $ax+by+c=0$ va s'écrire $UX=0$ ... mais bref, tu devrais jeter un oeil sur le cours avant de t'attaquer à cet exercice qui est clairement basé sur ces problèmes de dualité. Par exemple, la question dont on parle qui est une conséquence très directe des résultats de base.

Edit: je me rends compte que je t'ai quasiment donné la réponse à la c)... finalement, et je me répète, cet exercice est une application très directe du cours sur la dualité. Tu devais commencer consolider et enrichir tes connaissances sur le sujet avant de t'y attaquer. Mais ce n'est que mon avis, chacun sa méthode...

OShine

Tracktrick je ne suis pas d'accord, j'ai le cours de dualité de MPSI sous les yeux et je ne comprends rien à ce que tu as écrit sur la dualité.

La dualité en prépa se résume à 3 pages de cours. Le cours de dualité de prépa n'aborde pas les produits scalaires.

Ceci est un exercice de PSI donc la dualité est hors programme on doit pouvoir faire sans la dualité.

skazeriahm

De toute facon tu n'es d'accord avec aucune des remarques ou conseil que l'on peut te donner, ce qui t'intéresse c'est uniquement que les intervenants résolvent tes exercices pour toi pour que tu puisses exhiber tes superbes formules Latex.

bd2017

Bonjour

Je ne vois rien de correct concernant la réponse a)   Comme déjà remarqué l'application  f n'a pas de sens.  Et la pirouette  on prend $y\in K$  et on résout  $u(x)=y$ n'a rien de clair. 

Je ne vois pas pourquoi tu passes à la question b)  sans avoir donné une solution correcte de a).

Normalement ton cours de 3 pages doit contenir ce qu'il faut pour y répondre correctement.

D'autre part @Os tu as oublié les exercices sur les hyperplans et les noyaux  de formes linéaires continues ou non ? C'était de la dimension finie.

C'est tout de même ridicule de vouloir traiter des exercices alors qu'il te manque les bases. 

bisam

Si on énonce simplement en français que l'ensemble $F=\{u\in E^*\mid u(H)=\{0\}\}$ est l'ensemble des formes linéaires sur $E$ dont le noyau contient l'hyperplan $H$ et si l'on connait les caractérisations d'un hyperplan, la première question est TRIVIALE !

Tu as raison, @Oshine : c'est un exercice très facile.
Chacune des 3 premières questions se traite en moins de 5 lignes, et la dernière est simplement une application calculatoire.
Il faut te rendre à l'évidence : au bout de bientôt 10 ans à essayer de ressasser le programme de première année après le bac, tu n'en maîtrises toujours pas les rudiments !!

OShine

@raoul.S merci.

J'ai résolu la question b. Tracktrick j'ai bien dit que je travaillais à un niveau prépa... Si tu fais des remarques à un niveau au-dessus je ne vais pas comprendre.

Posons $G= \{ u \in E^{*} \ |  u(H)=0 \}$. $G$ est une droite vectorielle, elle est donc engendrée par une forme linéaire $v$ de $E$ non nulle. On a $G=Vect(v)$.

•  Supposons $f(H) \subset H$. Comme $\forall x \in H ,\ u(x)=0$ alors $u \in G$ donc $u \in Vect(v)$. Or, $\forall x \in H ,\ f(x) \in H$ donc $\forall x \in H, \ u \circ f(x)=0$ donc $u \circ f \in G$ soit $u \circ f \in Vect(v)$. Ainsi, $u$ et $u \circ f$ appartiennent à la même droite vectorielle, ils sont donc proportionnels.
  
• Réciproquement, si $u \circ f$ est colinéaire à $u$ alors il existe $\lambda \in K$ tel que $\forall x \in E, \  u( f(x))=\lambda u(x)$. Pour tout $x \in H \ u(x)=0$ donc $\forall x \in H ,\ f(x) \in \ker(u)=H$. On a montré que $f(H) \subset H$.
  

lourrran

Après avoir travaillé les épreuves X et ENS, OShine travaille les exercices de maths-Sup. Et ensuite, il attaquera le programme de Terminale.
Chaque chose en son temps, on ne peut pas tout faire en même temps.

Surtout quand on commence par la fin.

bd2017

Tu affirmes que G est une droite vectorielle.  Oui mais c'est ce qu'il faut justifier !!! 

P.S  Ok  pour t'aider aux exercices de collège et lycée.  Au moins on aura cette impression de servir à quelque chose.

Heuristique

Ce que tu as écrit n'est toujours pas homogène.

Un sous-espace de $E^*$ ne peut pas être engendré par $y \in E$, ça n'a pas de sens.

OShine

Lourrran la notion de sous-espace stable est vue en maths spé et non en maths sup.

Bd2017 je l'ai démontré à la question $1$ que $G$ est une droite vectorielle, j'ai démontré que $\dim G=1$. Explique moi pourquoi mon application n'a pas de sens ? 

Bisam c'est l'ensemble des formes linéaires dont le noyau contient un hyperplan. $F=\{ u \in E^{*} \ | \ H \subset \ker(u) \}$. Comme $F$ n'est pas réduit à $\{0 \}$, on en déduit $\dim Im(u)=1$.
Donc $F= \{ u \in E^{*} \ | \ \dim Im(u)=1 \}$. Ainsi, $F$ est l'ensemble des formes linéaires dont l'image est une droite vectorielle.
Comment en déduire $\dim F$ ? Je n'ai pas l'impression que c'est plus rapide qu'avec mon application.

Heuristique merci je corrige cette imprécision. C'est $G=Vect(v)$ avec $v$ une forme linéaire non nulle.

J'ai réussi la question $c$.

On a $L^T$ vecteur propre de $A^T$ si et seulement si il existe $\lambda \in K$ tel que $A^T L^T= \lambda L^T$ si et seulement si il existe $\lambda \in K$ tel que $LA= \lambda L$ si et seulement si $u \circ f = \lambda u$ si et seulement si $u \circ f$ est colinéaire à $u$ si et seulement si d'après la question précédente, $H$ est stable par $f$. 

La $d$ je bloque je ne vois pas qui est est $u$ dans l'exemple.

TrackTrick

OShine a dit :

Bd2017 je l'ai démontré à la question $1$ que $G$ est une droite vectorielle, j'ai démontré que $\dim G=1$. Explique moi pourquoi mon application n'a pas de sens ?

Euh, Heuristique te l'a dit je crois...

Heuristique a dit :

Un sous-espace de $E^*$ ne peut pas être engendré par $y \in E$, ça n'a pas de sens

Rien de "top niveau".... et je ne pense pas avoir fait de remarques "hors niveau" pour répondre au problème et je n'ai pas du tout dit qu'on avait ici besoin d'un produit scalaire (E n'a pas la structure à priori) (c'était une simple remarque pour t'inviter à réfléchir à ce ce que ça veut dire.)

Tu dis ne pas vouloir regarder le théorème d'isomorphisme, mais tu veux utiliser un isomorphisme pour "identifier" une base... ce que tu fais de manière fausse d'ailleurs, même si l'idée y est... puis je vois que tu recommences le mélange avec ton ensemble $F$... on ne sait plus bien "qui" est $u$ là dedans...

Mais je laisse tomber alors, car ce qu'il me semblait intéressant était de comprendre "la mécanique"... mais là tu risques de devoir redémonter tout le moteur à chaque panne.

NB: en fait, après avoir cherché une de tes questions sur le conseil de Gerard0, dans un autre fil, je me suis aperçu que tu ne tiens compte d'aucune remarque constructive pour progresser... un peu comme certains de mes élèves de Terminale qui veulent juste une bonne note via une "recette" mais se fichent pas mal de comprendre pourquoi la recette fonctionne.

Bonne continuation et sans rancune.

lourrran

La dualité en prépa se résume à 3 pages de cours. Le cours de dualité de prépa n'aborde pas les produits scalaires.

Ouf ! 
Le cours de dualité de prépa n'aborde donc pas une notion qui n'existe pas, c'est rassurant.

Quand on parle de dualité, ça veut dire quoi 'orthogonal'. Je vais t'expliquer avec mes mots tout simples, ça va être très approximatif, mais tant pis.
Peut-être même que ça va être tout faux ?

Exemple :
On a un maillage dans le plan. On étudie ce maillage. On a donc des données qui symbolisent tous les segments. Tous les fils de la toile d'araignée.

On s'intéresse par exemple à toutes les zones du maillage qui ont 8 voisins, peut on avoir un maillage infini constitué exclusivement d'hexagones et de triangles, des questions de ce genre. 
Finalement, imaginons que c'est trop compliqué pour ce qu'on doit faire, et on décide d'étudier l'orthogonal. L'orthogonal, ce n'est plus un ensemble constitué des segments du maillage, c'est un ensemble constitué avec tous les centres des polygones, et des informations du type : tel polygone a-t-il une frontière commune avec tel autre.  Et on va étudier ce nouvel ensemble.
Au final, étudier les polygones, ou étudier les segments qui constituent les frontières, ça va conduire aux mêmes conclusions.
L'orthogonal de l'ensemble constitué de tous les segments, c'est l'ensemble constitué de tous les polygones, et inversement.

Et comme tu l'imagines, il n'y a aucun produit scalaire dans cette histoire, même si on parle d'orthogonal.

OShine

Track trick lis un cours de prépa et tu verras que tes interventions dépassent largement le programme. 
Le théorème d'isomorphisme c'est niveau L3. 

Je connais le cours de prépa sur la dualité. 

kioups

Donc, pour tes élèves, tu fais pareil ? Tu t'arrêtes au niveau 5ème sans faire de lien avec ce qui peut se faire au lycée par exemple ? C'est magique...

bd2017

OShine a dit :

Bd2017 je l'ai démontré à la question $1$ que $G$ est une droite vectorielle, j'ai démontré que $\dim G=1$. Explique moi pourquoi mon application n'a pas de sens ? 

Je te retourne la question suivante  Si  j'écris

     $\forall$   Poires,  $\exists$   poires ,

explique  moi la faille  dans cette démonstration.

Bien entendu, il ne faut pas utiliser le rapport du Jury, ni  le fait  que c'est  au programme de L3, ni au fait que c'est seulement au chapitre suivant de ton livre. .

Maintenant, soit  sérieux et  arrête tes âneries.  Dans ton cours de 3 pages.  Soit  $B =(e_,...,e_n)$ une base de  et $B^*$  la   base duale de $B$. 

Soit   $x=(x_1,...,x_n)$  les coordonnées  de  $x$  dans la base $B$  et  $u=(u_1,...,u_n)$  les coordonnées de $u$ dans la base $B^*$  

Alors c'est quoi  l'expression de   $<u,x>_{E^*,E}=u(x)=  ...$

OShine

BD2017 je ne vois pas de faille. 

TrackTrick

OShine a dit :

Track trick lis un cours de prépa ....

J'obéis....http://quentin.henriet.free.fr/prepa/fichiers/cours/psi/Chapitre%2010.pdf

Oh, mais que vois-je en bas de la page 2 ??? Donc je crois que tu ne connais pas le cours sur la dualité...

Ok, pour l'orthogonal, mais ce n'est qu'une définition qui n'est à priori pas dépendante d'un produit scalaire.

Et puis tu as le CAPES non? http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/capesdualite.pdf voir l'exo 4 pour ceux qui ont le niveau CAPES.

Bon, j'arrête là, je ne me sens pas très utile (ni très constructif...) mais c'est quand même très étrange pour un enseignant de refuser de comprendre le cheminement... tu devrais aborder un exercice (on ne parle pas de concours ici je pense) comme tu abordes la préparation de tes cours, quelles sont les notions mises en jeu, dans quel(s) domaine(s) va t'on évoluer? y'a t'il des questions sous-jacentes? Pourquoi peut-on (ou ne peut-on pas) généraliser... typiquement au collège, le théorème de Pythagore est très très riche et peut amener à beaucoup de questions que l'on retrouve d'ailleurs en algèbre.

Ah j'avais dit que j'arrêtais !

OShine

Le cours que tu cites contient les mêmes résultats que ceux de mon livre de MPSI je les connais tous par cœur.

lourrran

Mireille Mathieu connaît par coeur toutes ses chansons en russe, alors qu'elle ne comprend pas un mot de russe.  

OShine

Bd2017

$u=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k e_k ^{*}$ donc $u(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k e_k ^{*} (x)=\sum_{k=1}^n u_k x_k$ car $e_k ^{*} (x)=x_k$

Quel rapport avec l'exercice ?

OShine

Je n'ai pas spécialement de difficulté à comprendre le cours de dualité.

J'ai plus de difficulté à comprendre les notions de compacité, connexité par arcs, topologie.

bd2017

Bien entendu, si  on ne connait rien  à la géométrie et en particulier  la géométrie analytique  de collège-lycée on ne voit pas le rapport. 

Et  pourtant   le cas $n=3$ est assez (et suffisamment)  parlant  pour y  voir clair. On  peut identifier $E^*$  à $E$ et $u(x)$  c'est ni plus ni moins  que  $u.x$  (le produit scalaire  étant ici le produit scalaire usuel.)

P.S mais   @Mireille sait chanter.

TrackTrick

lourrran a dit :

Mireille Mathieu connaît par coeur toutes ses chansons en russe, alors qu'elle ne comprend pas un mot de russe.  

C'est ça !!!

OShine a dit :

Je n'ai pas spécialement de difficulté à comprendre le cours de dualité.

J'ai plus de difficulté à comprendre les notions de compacité, connexité par arcs, topologie.

Alors surtout ne te lance pas dans des exercices de topologie !!! Parce-que personnellement, je pense que tu n'as pas compris le cours de dualité, fondamentalement, c'est "juste une illusion" (ça c'est Jean-Louis Aubert, qui rêvait aussi d'"Un Autre Monde" !). Au fait, "à quoi ça sert la dualité" ?

Toutes les réponses à tes questions sont dans le cours que tu me dis connaitre par cœur et que tu comprends sans difficulté... mais, comme Mireille comprend le russe alors, ...

Et aussi, tu dois pourtant savoir lire, puisque c'est le propre d'un forum: tu demandes ce qu'est $u$, alors que c'est clairement dit dans l'énoncé à la question précédente. Il n'y a plus qu'à interpréter ce résultat, d'où les sens du calcul de Bd2017, qui soit dit en passant utilise le crochet de dualité que tu n'as pas le droit d'utiliser "puisqu'il n'est pas au programme" , et en plus, il ose l'interpréter en terme de produit scalaire ! là ça y est Mireille chante en chinois !!!

C'est très mal, je me moque et crache mon venin alors que j'avais dit quitter la discussion... Un peu de colère face à tant de mauvaise foi sans doute, surtout venant d'un collègue... qui a le même diplôme que moi!

J'ajoute que dans mes remarques "lunaires ou stratosphériques", je t'ai quasiment donné la même réponse en matricielle

TrackTrick a dit :

....... avec le produit scalaire dès lors que E a la bonne structure... on peut alors montrer que toute forme linéaire peut-être vue comme un produit scalaire, c'est ce que l'on fait en terminale au lycée, sans le dire: un plan de l'espace a pour équation $ax+by+c=0$, c'est à dire $u(x,y,z)=0$ alors si j'écris la matrice $U$ de $u$ d'une base $E$ à $K$ et $X=(x,y,z)^T$, alors $ax+by+c=0$ va s'écrire $UX=0$ ...

OShine

Bd2017 je ne comprends rien, je ne vois pas de quoi tu parles ni de quelle question de l'exercice tu es en train de traiter.

TrackTrick

Bd2017 ne traite pas un exercice.... c'est toi qui doit le faire . Il essaye de t'orienter... mais tu ne sais pas lire la boussole.

bd2017

Je dis que la première question n'est pas traitée ! D'autre part je  ne fais  que  répéter  ce que @TrackTrick essaye de te faire comprendre. 

Dans  les bases  $B$ et $B^*, $   $u(x)$    c'est ni plus ni moins  que  $u.x$      ou si on préfère  matriciellement $U^t X$ 

Et cela apparemment tu le sais.  Une fois qu'on sait cela  on peut simplement comprendre et démontrer que  $\dim G=1 $ proprement. 

Et même faire les autres questions...

D'ailleurs je vois bien que tu essayes de faire la question b)  mais à mon avis  c'est inconcevable de faire la question b)  sans avoir fait le a).

raoul.S

Je suis de l'avis qu'il faut laisser les gens qui essaient de résoudre un exo y arriver seules avec leur façon de réfléchir (ça reste plus gravé dans le cerveau ainsi). Avec OShine ça arrive rarement mais parfois ça arrive et ce qui est dommage c'est que lorsque ça arrive on veut qu'il résolve l'exo avec notre façon de faire...

ICI il a globalement répondu à la question (a) quoi qu'on en dise. Il y a des coquilles comme on lui a déjà fait remarquer et il ne les a pas corrigées. De plus JLapin lui a demandé de prouver que son application est surjective (il avait écrit que c'est "évident") ce qu'il n'a pas réussi à faire.

Je propose à OShine de corriger les coquilles et de prouver que son application est surjective.

OShine

Bisam a donné une autre technique qui parait plus simple. Mais je n'arrive pas à conclure.
Je ne comprends pas ce que signifie "dans les bases $B$ et $B^{*}$".
Je ne vois pas ce que ça apporte de considérer la matrice de la forme linéaire et de la multiplier par $X=(x_1, \cdots, x_n)^T$
Si $Mat_B( u)= (a_1, \cdots, a_n)$ alors $Mat_B( u(x))=a_1 x_1+ \cdots +a_n x_n$ mais que faire de ce résultat ? 

TrackTrick

Déjà essaye de comprendre ton cours de 3 ou 5 pages, et donne du sens à ce que tu as écrit....

OShine a dit :

Je ne comprends pas ce que signifie "dans les bases $B$ et $B^{*}$".

OShine a dit :

...$\lambda \in K$ tel que $A^T L^T= \lambda L^T$ si et seulement si il existe $\lambda \in K$ tel que $LA= \lambda L$ ...