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Matrice et valeur propre

Modifié (January 2022) dans Algèbre
Bonsoir,

Je bloque sur la question $1$. Je sais que si $K= \C$ on a toujours l'existence d'une valeur propre. Mais ici, le corps $K$ est quelconque égal à $\R$ ou $\C$ comme dans le cadre de tous les cours de prépa.

Je ne vois pas comment utiliser que $E$ est le seul sous-espace stable par $u$.

Réponses

  • Si $x$ est un vecteur propre, $Vect(x)$ n'est-il pas stable par $u$ ?
  • il suffit d'écrire ce que signifie "avoir une valeur propre"... c'est avoir un sous-espace propre !
  • Modifié (January 2022)
    Ok merci, si $u$ admettait une valeur propre associé à un vecteur propre $x$  alors $vect(x)$ serait stable par $E_{\lambda} (u)= \{ y \in E \ | u(y)= \lambda y \}$
    Montrons que $E_{\lambda} ( Vect(x)) \subset Vect (x)$. 
    Soit $y \in Vect(x)$. Alors il existe $a \in K$ tel que $y=ax$ et donc $u(y)=u(ax)=a u(x)) =  (a \lambda) x \in Vect(x)$ 
    Mais c'est absurde car le seule sous-espace stable par $u$ est $E$ et $\dim E \geq 2$ alors que $\dim Vect(x)=1$, $Vect(x)$ étant une droite vectorielle.
    Pour la question $2$, j'ai des difficultés à montrer que la famille est libre. On sait que le cardinal de la famille vaut $n= \dim E$, il suffit de montrer que la famille est libre.
    Soient $(a_0, \cdots, a_{n-1}) \in K^n$ de sorte que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k(x)=0$
    Je ne vois pas comment démontrer que les $a_k$ sont nuls.
  • Modifié (January 2022)
    Salut OShine
    quel intérêt de faire cet exercice sachant que tu n'es capable d'absolument rien faire par toi même ?
    Si la famille est liée, peux-tu construire un sous-espace vectoriel strict de $E$ stable par $u$ ?
  • Modifié (January 2022)
    Merci je vais chercher cette piste.
    Je sais écrire la matrice. 
  • Modifié (January 2022)
    Supposons que la famille est liée, c'est-à-dire qu'il existe des scalaires $(a_0, \cdots, a_{n-1})$ non tous nuls tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k(x)$
    Notons $p= \min \{ k \in \N \ | \ a_k \ne 0 \} \leq n-1$
    Alors $\displaystyle\sum_{k=p}^{n-1} a_k u^k(x)=0$ et $\boxed{ a_p  u^p(x) + a_{p+1} u^{p+1} (x)+ \cdots + a_{n-1} u^{n-1} (x) =0}$ 
    Je bloque ici  :'(
  • Modifié (January 2022)
    C'est ridicule, tu as juste écris la définition de ce qu'est une combinaison linéaire nulle. Puis tu viens expliquer que tu bloques en pleurant. C'est puéril.
    Fais un lien avec ce qu'on te demande de faire dans ton exercice, prends des initiatives.
    Courage.
  • OShine, que signifie ta ligne : $E_\lambda(Vect(x))\subset Vect(x)$ ?

  • Modifié (January 2022)
    La ligne précédente (la toute première ligne) est particulièrement problématique.
    Oshine, je te conseille de reprendre calmement les bases de l'algèbre linéaire (définition des objets, théorèmes et preuves) au lieu de te tester sur des oraux de Concours (la méthode que tu suis ne me paraît pas productive).
  • Modifié (January 2022)
    Tu sais, Bbidule,
    il a déjà fait ça plusieurs fois (comme étudiant en prépa, puis il y a 3 ans quand je le voyais sur un autre forum, peut-être une autre fois encore quand il a changé de bouquin). Pour ce qu'il en reste ...
    Cordialement.
  • Modifié (January 2022)
    Oui c'est faux ce que j'ai écrit merci c'est $u(Vect(x))  \subset Vect(x)$ ce qui signifie que $Vect(x)$ est une droite vectorielle stable par $u$.
    Je relis mon cours d'algèbre linéaire de MPSI quand j'ai un doute sur une notion. 
    Skazeriahm voici mon avancement. Soit $p = \max \{ k \in [|0,n-1 |] \ | \ a_k \ne 0 \}$
    On a $a_0 x+ \cdots + a_{p} u^{p} (x)=0$
    Si $p=0$ alors $u^{0} (x)=x =0$ ce qui est absurde car $x  \ne 0$. 
    Supposons à présent $p \geq 1$. Il est facile de voir que $F=Vect(x, \cdots, u^{p} (x) )$ est stable par $u$ car $\boxed{u^{p}(x)=\dfrac{1}{p} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k(x)}$
    On a $\dim F \geq 1$ car $F$ possède un élément non nul. 
    Montrons que $\dim F < n$ pour obtenir une contradiction. La famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1} (x))$ possède $p$ éléments et on a $p \leq n-1$donc $\boxed{\dim F <n}$
    Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel strict de $E$ stable par $u$, ce qui est absurde.
    Ainsi, pour tout $x \ne 0$ dans $E$, la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1} (x))$ est libre. C'est donc une base de $E$.
    Écrivons la matrice de $u$ dans cette base.
    Pour montrer que la matrice ne dépend pas du choix de $x$ ça m'a l'air tellement évident que je ne vois pas comment le démontrer...

  • Modifié (January 2022)
    Je pense que gerard0 parlait d'une maîtrise du cours d'algèbre de MPSI, qui ne se limite pas à connaître par cœur les définitions.
    Pour ta preuve, elle part relativement bien mais il y a encore beaucoup de corrections à faire.
    1) Je ne comprends pas comment tu obtiens ta relation $u^p(x) = \frac{1}{p}\sum\limits_{k=0}^{p-1} a_k u^k(x)$.
    2) Ton "Il est facile de voir que" n'est en rien justifié par ton "car".
    3) Peux-tu justifier comment tu obtiens les colonnes de ta matrice ? Je ne comprends pas.
    Si tu veux un conseil, méfie-toi des évidences et des "Il est facile de voir que". Qu'est-ce qui te fait penser que la matrice ne dépend pas du $x$ choisi ?
  • Modifié (January 2022)
    C'est une erreur de frappe, comme $\forall k \geq p+1 \ \ a_k=0$ on a $a_0 u^0(x)+ \cdots +a_{p} u^{p} (x)=0$
    Comme $a_p \ne 0$ on a :$\boxed{ u^p(x)= \dfrac{1}{a_p} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k (x)}$
    Montrons que $u( F) \subset F$ où $F=Vect( x,u(x), \cdots , u^{p-1} (x))$.
    Soit $z \in F$ alors $\exists (b_0, \cdots, b_{p-1}) \in K^p$ tels que $z=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^k(x)$
    Alors $u(z)= u(\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^k(x)) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^{k+1}(x) $
    Donc $u(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-2} b_k u^k(x) + b_{p-1} u^p(x)$
    Or $ u^p(x)= \dfrac{1}{a_p} \displaystyle\sum_{k=p-1}^{p-1} a_k u^k (x) \in F$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-2} b_k u^k(x) \in Vect(F)$
    Comme $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il est stable par combinaisons linéaires et donc $u(z) \in F$
    On a montré que $F$ est stable par $u$.
    Pour la matrice, la première colonne c'est les coordonnées de $u(x)$ dans la base donnée et $u(x)=0 + u(x)+0 + \cdots + 0$, la deuxième colonne c'est les coordonnées de $u^2(x)$ dans la même base et  $u^2(x)=0 + 0+ u^2(x)+0 + \cdots + 0$ etc...
    Pour la question $c$, la matrice ne dépend pas de $x$. C'est évident pour moi je ne vois pas comment le démontrer.
    Si on prend la base $B'=(y,u(y), \cdots, u^{n-1} (y))$ avec $y \ne x$ alors la matrice de $u$ dans $B'$ sera évidemment la même.
    Je ne vois pas ce qui est attendu comme démonstration pour la question $c$. 
  • Modifié (January 2022)
    OShine a dit :
    Je relis mon cours d'algèbre linéaire de MPSI quand j'ai un doute sur une notion. 
    Je comprends un peu mieux d'où viennent alors tes soucis en Mathématiques.
    OShine a dit :


    euh... si la dernière colonne de $Mat_{B}(u)$ est nulle, n'est-il alors pas possible de mettre en évidence un sous-espace vectoriel non trivial stable par $u$ ?
  • @Os, si  tu ne fermes pas tes yeux, tu dois voir que la dernière colonne  est incompatible avec la question (a). 
  • Modifié (January 2022)
    Ta démonstration est mieux mais je ne suis toujours pas d'accord avec ta formule encadrée (même si on se rapproche de la vérité).
    Pour la matrice, ce n'était pas les $n-1$ premières colonnes qui me dérangeaient, peux-tu justifier les valeurs utilisées dans la dernière colonne ?
    Avant d'attaquer la question c), peut-être faut-il commencer par avoir la bonne matrice.
  • Modifié (January 2022)
    Pour la dernière colonne j'ai été trop vite, la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1} (x),u^n(x))$ est liée (d'après le cours) donc $u^n(x) \in Vect((x,u(x), \cdots, u^{n-1} (x))$ donc il existe des scalaires $a_0, \cdots, a_{n-1}$ de sorte que $u^n (x)= a_0x + \cdots, a_{n-1} u^{n-1} (x)$

    Donc la matrice de $u$ dans cette base est une matrice compagnon associée au polynôme $\boxed{P(X)=X^n -a_{n-1}X^{n-1} - \cdots - a_0}$

    Je n'ai pas compris le rapport entre une colonne nulle et un sous-espace stable ou une une valeur propre...
  • le noyau est le sous-espace propre associé à la valeur propre 0
  • Modifié (January 2022)
    La justification selon laquelle $(x,u(x)...u^n(x))$ est liée n'est pas "d'après le cours", il faut une vraie justification.
    OK, et que dire du polynôme $P$ vis-à-vis de $u$ ?
  • Modifié (January 2022)
    La famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x),u^n(x))$ est liée car c'est une famille d'éléments de $E$ et elle est de cardinal $n+1 > \dim E=n$.
    Puis j'utilise une autre propriété du cours de MPSI qui dit que si  $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre alors $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x),u^n(x))$ est liée si et seulement si $u^n(x) \in Vect(  (x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$
    Je ne trouve pas d'erreur dans ma formule encadrée. Je n'ai pas compris la question avec $P$ vis-à-vis de $u$.
    Totocov d'accord merci !
    Si on note $X=(x_1, \cdots, x_n)^T$ alors $\ker (M)= Vect(0, \cdots, 0,1)$ et $\ker (M)$ est une droite vectorielle. Mais $\ker(M)=E_0(u)$ et tout sous-espace propre de $u$ est stable par $u$ ce qui est absurde.
  • Ou alors, la famille $(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))$ est une base donc tout vecteur de $E$ est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Donc $u^n(x)=\ldots$

    Quel est ton objectif maintenant ?
  • Modifié (January 2022)
    OShine a dit :
    Soit $y \in Vect(x)$. Alors il existe $a \in K$ tel que $y=ax$ et donc $u(y)=u(ax)=a u(x)) =  (a \lambda) x \in Vect(x)$ 
    Mais c'est absurde car le seule sous-espace stable par $u$ est $E$ et $\dim E \geq 2$ alors que $\dim Vect(x)=1$, $Vect(x)$ étant une droite vectorielle.
    Je débarque un peu... mais il me semble qu'il y a un souci si on veut être rigoureux ici... "le seul sous-espace stable par $u$ est $E$" n'est pas exactement ce que dit l'énoncé ! Il faut quand même insister sur "le seul sous-espace stable non nul".
    Et donc, même si "il est clair que..." dire pourquoi $Vect(x)$ n'est pas l'espace nul.
  • Modifié (January 2022)
    Ensuite, je ne comprends pas bien pourquoi tu t'embrouilles avec ton $y$... si $Vect(x)$ n'est pas $\left\{ 0 \right\}$ alors $Vect(x)=E$ absurde par les dimensions.

  • Modifié (January 2022)
    Bonjour
    Il est tiré d'où cet exo ?
  • Modifié (January 2022)
    Pour ta formule, je crois me souvenir (mais je regarde peut-être mal depuis tout-à-l'heure) que, quand on passe un terme de l'autre côté d'une égalité, il faut mettre un "moins".
    Peux-tu donner une relation simple dans laquelle apparaît $P$ et $u$ ?
  • Modifié (January 2022)
    A-t-on vraiment besoin de savoir ce qu'est une matrice compagnon ? (il y a effectivement une erreur probable de signe).
  • Pas franchement non, mais c'est bien de le remarquer !
  • Modifié (January 2022)
    Tracktrick merci pour la précision, en effet $\{0 \}$ est stable. L'énoncé manque de précision.

    Amédé un cours de PSI* Lamartin de 2021 que j'ai trouvé sur le net. Je trouve les exercices intéressants et moins abrupts que ceux de mon livre de MP/MP* infaisables à mon niveau, qui demandent toujours des idées brillantes (beaucoup d'exercices de Polytechnique Centrale MP). 

    Heuristique oui j'ai oublié le moins merci.

    Comme $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est une base de $E$ et que $u^n(x)$ est un élément de $E$, alors il existe des scalaires $a_0, \cdots, a_{n-1}$ tels que : $\boxed{u^n(x)=- \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)}$

    Ce qui donne la matrice compagnon associée au polynôme $P(X)=a_{n-1} X^{n-1} + \cdots +a_1 X+ a_0$

    On a donc $\boxed{P(u)=  u^{n-1} + \cdots +a_1 u+ a_0 id_E}$

    Que faire avec cette relation ? 
  • Vérifier que $P$ est le polynôme caractéristique de $u$ qui donc se calcule comme le polynôme caractéristique de n'importe quelle matrice de $u$ dans une base de $E$ et donc en particulier, ne dépend pas du vecteur $x$ choisi.
    Ainsi, les coefficients $a_0,\ldots,a_{n-1}$ sont indépendants de $x$.
    Bon courage pour digérer tout ça...
  • Modifié (January 2022)
    JLapin merci c'est très clair, pour le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon j'ai fait l'exercice récemment donc pas de problème. On effectue une opération élémentaire sur la première ligne qui ne contient alors que des $0$ sauf le terme en première ligne n-ième colonne qui est $P(X)$. Puis on développe par rapport à la pemière ligne. 

    On $\chi_M (X)=P(X)$ et d'après le théorème de Cayley-Hamilton : $P(u)=0 = u^{n-1} + \cdots +a_1 u+ a_0 id_E$ (Heuristique à quoi sert cette relation dans le raisonnement ? )

    Le polynôme caractéristique est invariant par changement de base, donc $P$ aussi donc les $a_i$ restent inchangés si on prend un $y \ne x$ pour la base. 
  • La relation simple attendue était $\chi_u=P$...
  • Modifié (January 2022)
    $\chi_u = P$ effectivement !
  • Modifié (January 2022)
    il ne manquerait pas des $X^n$ partout dans les polynômes donnés dans les derniers messages ?
    il me semble aussi que cet exercice peut être terminé "à la main" (même si c'est la preuve que $P$ est un polynôme annulateur de $u$) en exprimant $y$ dans la base des $u^i(x)$ puis en trouvant que $u^n(y)$ est combinaison linéaire des $u^i(y)$ avec les mêmes coeffs que $u^n(x)$ est comb. linéaire des $u^i(x)$. C'est, si je ne me suis pas trompé, un simple échange de sommes.
  • D'accord merci, j'avais aussi vu cette histoire de matrice compagnon dans Centrale maths 1 MP 2019, sujet que je voulais traiter mais j'attends d'avoir plus de recul sur le cours car certaines questions paraissent difficiles. 
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