Théorème de Cantor - Bernstein

PierreCap

Bonjour à tous.

Je pense que ce sujet revient régulièrement, je n'ai pas vraiment de question à poser, j'ouvre ce fil juste pour dire que j'ai trouvé une autre démonstration. C'est une variante de la démonstration classique, qui me paraît plus facile à comprendre car plus intuitive. J'aimerais bien avoir votre avis, et aussi être sûr que je n'ai pas fait d'erreur dans la démonstration. Merci d'avance à celui ou celle qui aura le courage de la lire.

Bonne journée, Pierre
Théorème de Cantor - Bernstein

Heuristique

Oui ta preuve est assez classique, c'est la première que j'avais vu personnellement.

J'ai juste remarqué une petite typo dans la preuve de $X \neq A$ page 1. La conclusion de la preuve est $X \neq A$ et non $E \neq A$.

Je préfère la preuve par Tarski personnellement. Elle est peut-être moins constructiviste mais a le mérite de la concision : question d'affinités !

Renart

Sur la page wikipédia du théorème on trouve 3 démonstrations. Je crois que PierreCap adapte la première et que celle de Tarski préférée par heuristique est la deuxième. Personnellement c'est la troisième qui a ma préférence, et de loin. Je me souviens avoir été assez émerveillé par la simplicité et la beauté de l'argument la première fois que je l'ai lue.

Tous les goûts sont dans la nature parait-il !

PierreCap

Heuristique a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2337051/#Comment_2337051

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Merci Heuristique pour ta relecture et pour avoir noté cette coquille.  Je ne connais pas la preuve de Tarski, je vais essayer de la regarder. Si je suis au niveau ;o)

PierreCap

Renart a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2337194/#Comment_2337194

Merci Renart pour ton commentaire. Je vais essayer de la comprendre, elle paraît être assez constructive. Bonne journée à tous les deux.
Pierrre

Heuristique

Merci Renart pour ta preuve, je ne la connaissais pas et je la trouve très sympa !

Renart

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PierreCap : En effet, on peut parfois l'utiliser directement pour construire des bijections si l'on est en manque d'inspiration.

Exercice illustratif : si l'on se donne $f  : [0;1[ \to  [0;1]$ l'injection qu'est l'identité et $g : [0;1] \to [0;1[ $ définie par $g : x \mapsto x/2$ déterminer une bijection à l'aide de la démonstration 3 du théorème de Cantor-Bernstein.

raoul.S

Je ne la connaissais pas la démonstration 3 de Cantor-Bernstein. C'est peut-être la plus simple à retenir.

PierreCap

Je n'ai pas encore regardé la démonstration dont tu m'as parlé (celle de Julius König selon Wikipédia). Je vais le faire, j'attends juste d'avoir assez de temps à y consacrer car ça risque de pas être facile pour moi. Mais j'ai fait ton exercice en utilisant ma démonstration du lemme, que je connais mieux forcément ;o) Si j'ai bien compris, il faut fabriquer une bijection $h : [ \![ 0 ; 1] \!] \rightarrow [ \![ 0 ; 1[ \![$ utilisant l'injection $g : x \mapsto x/2$ et l'application identité. Voilà ce que j'ai trouvé :
    posons  $ X = \{ \frac{1}{2^n} | n \in \N \}$
    pour   $x \in X$   on fait   $h(x) = g(x)$
    pour   $x \in [ \![ 0 ; 1] \!] \setminus X $   on fait   $ h(x) = x$