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Une construction du triangle équilatéral

Bonjour,
J'ai cassé mon compas en voulant construire un triangle équilatéral, je n'ai pu tracer qu'un arc de cercle.
Heureusement que j'avais ma règle !

 

Réponses

  • J'ai voulu faire une blague en pensant que les constructions seraient toutes d'une complexité énorme, or pas du tout ! Je m'y suis mal pris la première fois, maintenant j'en ai trouvé une avec $23$ droites, et qui n'est pas difficile à expliquer.


  • Modifié (19 Jan)
    Je continue de narrer mes constructions où fourmillent des points alignés. Construire à la règle non graduée un carré à partir d'un seul cercle n'est pas très compliqué, on peut alors se servir de cette construction pour obtenir le triangle équilatéral. Ce qui fait $17$ droites au lieu de $22$, en plus on a le carré avec !

    Je n'ai pas trouvé d'autres constructions sur le net, il faut dire que c'est quand même un peu spécial de chercher ces constructions, car leur existence est surtout un résultat théorique. Sait-on par exemple combien de droites au minimum faut-il pour le carré (je dirais $9$) ? Le triangle équilatéral ? Le pentagone régulier ?

    Amicalement, 
    Ludwig

  • Modifié (19 Jan)
    Une petite remarque en forme de question : la figure ci-dessus repose sur des théorèmes bien connus, comme par exemple le théorème de Thalès (triangle inscrit dans un demi-cercle) ou le théorème de Ceva. C'est-à-dire que j'ai cherché en partant de ces théorèmes (voir aussi la page wikipedia consacré au théorème de Poncelet-Steiner pour d'autres méthodes). Mais pourquoi faudrait-il absolument se baser sur ces propriétés ? Rien n'interdit d'aller voir ailleurs. Où ? Je n'en sais rien du tout. Mais ailleurs. Ne peut-on pas trouver une construction du triangle équilatéral à la règle non graduée, en partant d'un seul cercle et de son centre, qui ne serait pas démontrable grâce à ces propriétés habituelles ? Démontrable je ne sais pas comment, mais pas avec ces théorèmes connus, une construction non "réductible" à ces propriétés. Pourquoi cela ne serait-il pas possible ?
  • Mon cher Ludwig
    Je n'ai pu qu'admirer tes belles figures car je n'ai rien compris à ce que tu as fait et je ne dois pas  être le seul!
    Peux-tu nous dire quelles sont exactement les données de départ et à défaut de rentrer dans tous les détails, nous donner au moins les grandes étapes de ta construction!
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour pappus,

    Je commence par le carré, qui m'a ensuite permis d'obtenir le triangle équilatéral.
    $D$ est sur le cercle de centre $A$ et de diamètre $BC$ (n'importe où, mais pas en $B$ ni en $C$).
    $E$ est sur $CD$, distinct de $C$ et de $D$. $AE$ coupe $BD$ en $F$, $BE$ coupe $CF$ en $G$.
    $DG$ est parallèle à $BC$ car $A$ est le milieu de $BC$.

    $CD$ coupe $BH$ en $I$ et on a $AI$ perpendiculaire à $BC$ : les diagonales d'un carré sont obtenues avec $9$ droites.




  • Je poursuis : $AI$ coupe le cercle en $J$ et $K$.
    Pour obtenir le triangle équilatéral je vais construire la médiatrice de $AJ$.
    $CD$ coupe $BJ$ en $L$ et $BK$ en $M$.
    $AB$ coupe $MJ$ en $N$, $CJ$ coupe $NL$ en $O$ et $BO$ coupe $AJ$ en $P$.
    $CP$ coupe $BJ$ en $Q$ et $OQ$ est la droite recherchée.
    Je te laisse la démonstration en exercice.




    En ce qui concerne ma question postée hier, je précise : on pourra bien sûr faire des démonstrations en utilisant les coordonnées, barycentriques ou cartésiennes. Se passer des théorèmes déjà connus revient donc je crois à se passer de la construction d'une parallèle, d'une perpendiculaire ou d'un milieu. Et il s'agit-là d'une contrainte, pas le droit de les utiliser sinon il serait alors possible de "raccrocher" la construction aux propriétés classiques. Il ne faut pas non plus que par exemple un milieu surgisse, involontairement, dans la construction. On trace des droites, on prend des intersections, on trace d'autres droites.. et paf ! On a le triangle équilatéral.
    La question est donc : peut-on construire l'image d'un point du cercle par la rotation d'angle $120°$ autour du centre, en respectant ces contraintes ? Je crois que non.

    Amicalement,
    Ludwig
  • Modifié (20 Jan)
    Merci Ludwig
    Maintenant on peut discuter!
    Tu n'as toujours pas dit clairement quelles étaient les données!
    A part cela, ce que tu fais n'a rien d'étonnant en vertu du théorème de Poncelet-Steiner (1833) que tu as cité mais dont je rappelle l'énoncé:
    Tout point constructible à la règle et au compas peut être construit à l'aide de la règle seule à condition que soit tracé dans le plan un cercle avec son centre.
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (20 Jan)
    Ben si j'avais dit quelles étaient les données dans mon premier message : j'ai cassé mon compas et je n'ai pu tracer qu'un arc de cercle. Donc on a un arc de cercle avec son centre et il faut tracer un triangle équilatéral avec la règle non graduée. Disons plutôt un cercle en entier pour simplifier, il est d'ailleurs nécessaire pour ma dernière figure. Mais on peut je pense trouver une solution avec juste un arc, aussi petit soit-il.

    Quant au problème avec contraintes je le précise encore en le simplifiant : construire un triangle équilatéral avec la règle non graduée seule, à partir d'un cercle donné sans son centre. Car se donner le centre c'est se donner des milieux.. Et construire ce triangle sans le centre du cercle ne contredit pas le fait qu'on ne peut pas construire ce centre à la règle seule.
  • Merci Ludwig
    David Hilbert (1862-1943) lui-même, excusez du peu, s'est intéressé à ce problème.
    Il reprit le problème de Poncelet lorsque le cercle est donné sans son centre et il montra que l'on obtenait pas ainsi tous les points constructibles à la règle et au  compas.
    Amicalement
    pappus
  • Et quel est l'ensemble des points constructibles à la règle non graduée lorsqu'un cercle est donné sans son centre ? L'image d'un point du cercle par la rotation de $120°$ autour du centre en fait-il partie ? La réponse est non n'est-ce pas ?
    Amicalement,
    Ludwig
  • Bonne nuit Ludwig et fais de beaux rêves
    Essaye déjà de construire le centre du cercle donné avec la règle seule.
    Ce serait pas mal pour commencer!
    Amicalement
    pappus
  • À l'impossible nul n'est tenu. Mais cet impossible-là n'implique pas forcément celui de la construction d'un triangle équilatéral. Si ?
  • Mon cher Ludwig
    Je n'en sais rien!
    Je n'ai pas lu cet article de Hilbert.
    Mais avoue qu'avoir pour but d'exhiber cet ensemble de points non constructibles de Hilbert est quand même plus palpitant que de construire des polygones réguliers!
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (21 Jan)
    Les deux sont intéressants, je m'amuse bien à chercher ces constructions de polygones (j'ai d'ailleurs encore amélioré ma construction du pentagone régulier - $31$ droites contre $35$  :)  ), et je suis aussi curieux de savoir quel est cet ensemble de points. J'ai regardé dans Théorie des corps de Carrega, et aussi dans Geometric Constructions de George E. Martin, mais je n'y ai rien trouvé. Bizarre. 
    Par contre j'ai déniché un article concernant la démonstration de Hilbert sur l'impossibilité de construire le centre d'un cercle avec la règle, où l'on peut lire qu'il y aurait une erreur dans sa preuve.
    Bon après-midi,
    Ludwig
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