Hypothèse de Lindelöf et conjecture de Goldbach

Sylvain

Bonjour,

Sait-on si l'hypothèse de Lindelöf a des conséquences sur le nombre d'exceptions à la conjecture de Goldbach ? Permettrait-elle d'obtenir une amélioration du résultat de Pintz qui si je ne m'abuse dit que $E(x)=O(x^{2/3})$ avec $E(x)$ le nombre d'entiers pairs n'excédant pas $x$ qui ne s'écrivent pas sous la forme d'une somme de deux nombres premiers ? Peut-on espérer quelque chose comme $E(x)\ll_{\varepsilon}x^{\varepsilon}$ sous l'hypothèse en question ?

noix de totos

Non, je ne pense pas. Quelques remarques.

1. Pintz a annoncé en 2004 avoir obtenu $E(X) \ll x^{2/3}$, mais n'a jamais publié son résultat. Le meilleur actuel, toujours dû à Pintz (2018), est $E(x) \ll x^{0,72}$.

2. Goldbach, c'est de la théorie additive, et l'outil principal utilisé dans ce type de problème est la méthode du cercle, à laquelle on ajoute des ingrédients sophistiqués pour faire progresser la recherche. Lindelöf est, j'allais dire, purement analytique, et ses conséquences portent plutôt sur : 
(i) Les valeurs moyennes de puissances de la fonctions $\zeta$ ;
(ii) Les écarts entre les zéros non triviaux de $\zeta$ ; 
(iii) La fonction $\tau_k$ de Dirichlet-Piltz ;
etc.  

Sylvain

Oui, enfin c'est toujours de la théorie des nombres. Je ne comprends pas pourquoi on veut toujours tout compartimenter et s'en tenir à des techniques et méthodes d'ores et déjà existantes au lieu d'explorer de nouvelles possibilités, certes sans garantie de succès mais peut-être fécondes pour peu qu'on leur laisse une chance. 

Boécien

Sylvain: C'est quoi ces nouvelles possibilités dont tu parles? Noix de totos semble bien connaitre le sujet et donc ta question n'a plus trop de sens. Et d'après ce que je vois en lisant des articles de-ci de-là les mathématiciens adorent trouver des ponts entre des disciplines ou objets différents donc si un théoricien des nombres avait aperçu un tel lien il en aurait fait part, non?

Poirot

C'est toi qui compartimente en disant "mais ça reste de la théorie des nombres"... noix de totos sait de quoi il parle quand même. Si tu connais une manière d'attaquer des problèmes additifs avec Lindelöf, nous sommes toute ouïe. En attendant, tu ne crois pas que ça paraît ridicule de dire que l'on devrait essayer d'attaquer l'hypothèse de Riemann avec le grand théorème de Fermat, tout ça parce que "ça reste de la théorie des nombres" ?

noix de totos

Curieuse réaction de la part du demandeur...Si je n'avais pas tant de travail actuellement, je disserterais peut-être sur le "cloisonnement ou non" des branches de l'arithmétique...

Ce que j'ai voulu dire, et Poirot et Boécien l'ont bien compris, c'est que l'outil standard des problèmes additifs célèbres est la méthode du cercle. La connais-tu ? Si oui, tu dois t'apercevoir que l'hypothèse de Lindelöf n'a pas grand-chose à voir là-dedans. Si non, je t'invite à t'y intéresser, par exemple en consultant la monographie de Vaughan à ce sujet : https://www.amazon.fr/Hardy-Littlewood-Method-R-C-Vaughan/dp/0521573475/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=3H7DP1YBJ1120&keywords=R.+C.+Vaughan&qid=1642196511&sprefix=r.+c.+vaughan%2Caps%2C74&sr=8-1  

Sylvain

J'ai peut-être réagi un peu vivement et je m'en excuse. Les maths m'ont valu plus de déboires qu'autre chose, je les laisse aux spécialistes.

df

C’est vraiment une sage décision.

LEG

Sylvain a dit :

Bonjour,

avec $E(x)$ le nombre d'entiers pairs n'excédant pas $x$ qui ne s'écrivent pas sous la forme d'une somme de deux nombres premiers ?

Bonjour : Comment tu as pu supposer qu'il pourrait y avoir une fonction  $E(x)$ qui te donne un nombre d'entiers pair > 4,  qui ne s'écrit pas comme la somme de deux nombres premiers p+q , sachant que depuis plus de deux siècles tout le monde pense le contraire et qu'à ce jour, on n'en a même pas trouvé un seul . 

gerard0

Leg,

cette fonction est pourtant utilisée par les mathématiciens qui s'intéressent à Goldbach. Démontrer la conjecture, c'est démontrer que E(x) est constante (donc vaut 0 pour tout x). C'est une technique assez élémentaire en maths. Qu'attends-tu pour apprendre suffisamment de mathématiques pour comprendre les travaux de Pintz ?

Cordialement.

LEG

gerard0 a dit :

Leg,

. Qu'attends-tu pour apprendre suffisamment de mathématiques pour comprendre les travaux de Pintz ?

Cordialement.

Tu es sérieux ?

Car je doute fort que si je devais apprendre suffisamment les Math pour comprendre les travaux de Pintz et autres Mathématiciens de la théorie des nombres, il me faudrait une deuxième vie et surtout la motivation ....

J'ai posé la question à Sylvain, car effectivement je ne comprenais pas du tout le but de cette fonction et son estimation, sur le nombre de solutions qui doit valoir 0 pour tout x  ... Dont tu viens de me donner effectivement l'explication , donc  Merci.

Cordialement.

gerard0

Une deuxième vie, je ne sais pas. Mais pour la motivation, je suis d'accord, et c'est bien ce que je te reproche ! Depuis le temps que tu viens sur les forums, tu aurais déjà appris l'essentiel ...

Cordialement.

noix de totos

Deux remarques : 

1. Je redis bien que le message plus haut n'est que le reflet de mon opinion, et non d'un théorème. Quelqu'un, peut-être un jour, fera-t-il un parallèle entre l'hypothèse de Lindelöf et le conjecture de Goldbach, bien que je doute fort que cela soit possible, pour les raisons que j'ai évoquées plus haut. Mais, bon, ce n'est, encore une fois, qu'une opinion. 

2. Il n'est nul besoin d'être un spécialiste pour poser des questions difficiles dans quelque domaine que ce soit. Mais alors il faut être prêt à entendre tout type de réponse, y compris celles provenant de spécialistes, qui peuvent éventuellement ne pas aller dans le sens souhaité au départ...et qui, accessoirement, peuvent demander certaines connaissances pas nécessairement simples à acquérir.

Par exemple, et bien qu'étant une conséquence de l'hypothèse de Riemann, celle de Lindelöf est extrêmement délicate, et semble être au-dessus des compétences humaines actuellement. Rappelons que celle-ci stipule que, pour $|t|$ suffisamment grand et tout $\varepsilon > 0$, on a la majoration
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{\varepsilon}.$$
On est encore très loin d'un tel résultat : la meilleure estimation actuelle, due à Bourgain & Watt, est
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{13/84+\varepsilon}$$
et date de 2017 (année du preprint). Le précédent record, dû à Huxley, était de 2003 et Huxley avait obtenu
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{32/205+\varepsilon}.$$
Ainsi, en 14 ans de dures et ingrates recherches, on est passé de $0,1561$ à $0,1548$. C'est dire la difficulté extrême de ce sujet...

LEG

gerard0 a dit :

 Mais pour la motivation, je suis d'accord, et c'est bien ce que je te reproche ! Depuis le temps que tu viens sur les forums, tu aurais déjà appris l'essentiel ...

Bonjour : Je pense que Noix de Totos , viens de répondre en partie à ma "motivation" il ne faut quand même pas rêver...
Depuis que je viens sur les forums il n'y a qu'un sujet qui m'intéresse la répartition des nombres premiers dans des suites Arithmétiques et une ou deux conjectures liées à cette répartition par Famille en progression Arithmétique de raison 30... 

les spécialistes de la théorie des nombres qui en sont arrivés là, ce n'est sûrement pas en 15 ans. Mais en plus, leur travaux ne sont compris que par une infime partie des Mathématiciens professionnels ...

Donc je serais très très surpris qu'une personne n'ayant jamais appris les maths même pas au lycée  ("fin de scolarité 13 ans et demi et sans avoir appris les bases rudimentaires de l'algèbre)", ait la motivation pour commencer de A à Z les Maths pour apprendre et obtenir suffisamment de connaissances afin de comprendre les travaux de ces spécialistes , alors qu'une grande majorité en sont incapables ...

Si je n'avais pas de motivations comme tu le sous entend, tu penses sérieusement que j'aurai été capable de construire des algorithmes modulo 30 et les utiliser pour ces conjectures élémentaires ? Ou même d'essayer de comprendre les différentes fonctions, relatif à ces conjectures et à la répartition des nombres premiers.
Moi je suis obligé de me créer des exemples avec des entiers naturels pour comprendre le fonctionnement d'une fonction, quand c'est possible ...

L'algorithme de "" Goldbach "" personne ne l'avait trouvé , en plus il permet de faire le lien avec la conjecture de Lemoine-Lévy , la variante de la conjecture de Goldbach. Ce qui veut dire que si l'une ou l'autre de ces deux conjectures était prouvée cela entraînerait obligatoirement la deuxième c'est le même algorithme pour les deux, utilisant les congruences !

Y compris le résultat de H Helfgott sur les entiers impairs qui s'écrivent comme la somme de trois nombres premiers > 2 , pas nécessairement distinct,
 " conjecture plus faible " 

 Les résultats dans ce domaine depuis plus de deux siècles par les spécialistes de l'analyse complexe, n'ont absolument pas permis de résoudre ces conjectures (premiers jumeaux ; Goldbach et Lemoine - Lévy ) mais seulement une approche sur l'estimation du nombre minimum de solutions pour une limite N fixée.

hormis le théorème de Tao Green sur les suites arithmétiques de nombres premiers de longueur arbitraire , ce qui permet d'en déduire une infinité de premiers ayant un écart minimum de 246 , limite actuelle .
(" Ce que l'on peut constater par famille avec ces algorithmes, ce qui n'est qu'une conséquence de la répartition des nombres premiers ")

Pour info , un document joint.

Bonne journée à tous

gerard0

Je préfère ne pas commenter.

Poirot

LEG a dit :

Hormis le théorème de Tao Green sur les suites arithmétiques de nombres premiers de longueur arbitraire , ce qui permet d'en déduire une infinité de premiers ayant un écart minimum de 246 , limite actuelle .

(" Ce que l'on peut constater par famille avec ces algorithmes, ce qui n'est qu'une conséquence de la répartition des nombres premiers ")

Le théorème de Green-Tao et le résultat sur le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs n'ont strictement rien à voir l'un avec l'autre, si ce n'est que Tao a participé à la démonstration des deux...