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Corps finis et isomorphismes

Modifié (13 Jan) dans Algèbre
Bonjour
Je souhaiterais avoir une aide pour comprendre pourquoi (1) et (2) impliquent  ce qui est en rouge.
En vous remerciant.

Réponses

  • Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$. Alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I, \pi^{-1}(J))$, où $\pi : A \to A/I$ est la projection canonique. A toi de chercher à le montrer avec des résultats usuels.
  • Bonsoir,
    Même en fait isomorphe à $A/\pi^{-1}(J)$.
  • Et si nous éliminions $Y$ ?
    sage: K = FiniteField(2)
    sage: R.<x,y> = PolynomialRing(K,2)
    sage: I = R.ideal([y^2+y+1,x^2+x+y])
    sage: I.elimination_ideal([y])
    Ideal (x^4 + x + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Finite Field of size 2
    sage: f = x^4+x+1
    sage: f.is_prime()
    True
    sage: f.factor()
    x^4 + x + 1
    

  • Faire appel à un logiciel pour éliminer $Y$ ici, c'est vraiment inutile : il suffit de remplacer $Y$ par $-X^2-X$ dans $Y^2+Y+1$.
  • Hem. J'allais objecter qu'il y a quand même une élévation au carré mais en caractéristique $2$, ce n'est pas la mer à boire non plus. J'aurais pu être moins paresseux et au moins regarder de quoi il retourne.
  • Bonjour Poirot,

    J'ai essayé de démontrer ta proposition mais je n'y arrive pas. Merci de m'aider un peu plus.
  • Modifié (14 Jan)
    Tu peux commencer par vérifier que $J=\pi^{-1}(J)/I$, puis définir un morphisme de $A$ vers $(A/I)/J$, montrer qu'il est surjectif et déterminer son noyau. 
  • Bonjour,


  • Modifié (15 Jan)
    Bonsoir,
    On prend pour $y$ l'image de $Y$ dans le quotient $\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)$.
  • Modifié (15 Jan)
    Bonsoir
    Peux tu m'expliquer en détail ta démarche car je suis un peu perdu dans cet exercice.
    En te remerciant.
  • Le pont entre $X^2+X+Y\in \mathbb F_2[X,Y]$ et $X^2+X+y\in (\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)[X]$ n'est-il pas jeté si $y$ est l'image de $Y$ dans le quotient ?
  • Modifié (17 Jan)
    Bonjour
    Merci avec beaucoup de patience de reprendre avec moi ce qui suit.

  • Tu as raison de ne pas voir parce que c'est faux.
    L'énoncé de Poirot t'induit en erreur. Reporte-toi à la remarque que j'ai faite après son intervention.
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