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Fonctions caractéristiques égales

Bonjour, j'ai la proposition dans mon cours qui dit que la transformée de Fourier $\hat \mu(\xi)=\int e^{i\xi x} \mu (x)$ d'une mesure de proba $\mu$ sur $\mathbb R^d$ est caractérisée par $\mu$ i.e. $\mu\mapsto \hat \mu$ est injective.
La preuve consiste d'abord en commençant par $d=1$ (i.e. $\xi\in \mathbb R$).
On pose $g_\sigma (x):=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ la fonction densité de la v.a. suivant la loi $\mathcal N(0,\sigma^2)$.
On pose ensuite $f_\sigma(x):=g_\sigma\ast \mu(x):=\int g_\sigma(x-y)d\mu(y)$ et $d\mu_\sigma(x)=f_\sigma(x)dx$.
Ensuite, d'après mon cours, il suffit simplement de montrer que 
  1. $\mu_\sigma$ est déterminée par $\hat \mu$
  2. $\mu_\sigma$ converge étroitement vers $\mu$ lorsque $\sigma\to 0$
Le premier point dans mon cours se résume à montrer par un calcul que $f_\sigma(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int e^{i\xi x}g_{1/\sigma}(\xi)\hat \mu(-\xi)d\xi$.
Je ne comprends pas du tout pourquoi ces deux points permettent de conclure la proposition, merci pour votre aide.

Réponses

  • Si $\hat \mu=\hat \nu$ alors $\mu_\sigma=\nu_\sigma$ par 1) et par 2) $\mu_\sigma(=\nu_\sigma)$ converge étroitement vers $\mu$(vers $\nu$).  Par unicité de la limite, $\mu=\nu$. 
  • Merci pour ta réponse, j'aurais juste deux questions:

    1: Par rapport à l'unicité de la limite, je ne suis pas sûr de pouvoir la justifier. Le plus facile aurait été de dire que pour $\mu_n\overset e\to \mu,\mu_n\overset e\to \tilde\mu$, pour $A\in \mathscr A, \mu(a)=\int \mathbf 1_A \mathrm d\mu=\lim \int \mathbf 1_A\mathrm d\mu_n=\lim \mu_n(A)$, mais le problème est que $\mathbf 1_A$ n'est pas continue...

    2: Dans le calcul pour montrer la convergence étroite, on montre que pour $\varphi$ continue bornée, $\int\varphi(x)\mathrm d\mu_\sigma(x)=\int(g_\sigma\ast\varphi)(y)\mathrm d\mu(y)$ et ensuite que par convergence dominée, $(g_\sigma\ast\varphi)(y)\underset{\sigma\to 0}\to \varphi(y)\: \forall y$. Comment conclure ensuite que $\lim_{\sigma\to 0}\int(g_\sigma\ast\varphi)(y)\mathrm d\mu(y)=\int\varphi(y)\mathrm d\mu(y)$? Par convergence dominée encore? Je ne vois pas... (Note: $(g_\sigma\ast\varphi)(y)=\int\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\varphi(y-x)\mathrm dx$)
  • Modifié (January 2022)
    Bonjour.
    [Edit : Probablement inadéquat]
    "Par rapport à l'unicité de la limite, je ne suis pas sûr de pouvoir la justifier." Tu crois qu'il y a besoin de justifier le fait que deux suites égales (donc une seule suite en fait) ont des limites égales ?
    Cordialement.
  • Pour ta question 1. il faut se rappeler (je ne sais pas si c'est dans ton cours) que le sous-espace des fonctions continues à support compact est dense dans $L^1(\mu)$ quelle que soit la mesure bornée $\mu$ sur $\R^d$. Il existe donc une suite $(\varphi_n)$ de fonctions continues à support compact (donc bornées) telle que $\lim_{n\to \infty}\int| \mathbf 1_A -\varphi_n|d\mu=0$. D'où l'unicité de la limite.

    Pour la question 2. c'est comme tu l'as dit, la convergence dominée permet de conclure. En effet, $|(g_\sigma\ast\varphi)(y)|\leq\int\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}|\varphi(y-x)|\mathrm dx\leq \|\varphi\|_{\infty}\int\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\mathrm dx=\|\varphi\|_{\infty}$. La fonction $|g_\sigma\ast\varphi|$ est donc majorée par une constante. Or les fonctions constantes sont intégrables car la mesure est bornée. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée.
  • Modifié (January 2022)
    Ah oui bien vu pour la 2. j'ai oublié qu'il s'agissait d'une mesure bornée !
    Pour la 1. je ne connaissais pas ce résultat mais je veux bien l'admettre ici. On a alors $$\begin{align*} \mu(A) &=\int \mathbf 1_A\mathrm d\mu \\ &=\lim_n \int \varphi_n\mathrm d\mu \\ &=\lim_n\lim_m\int\varphi_n\mathrm d\mu_m \\ &=\lim_m\lim_n\int\varphi_n\mathrm d\mu_m \\ &=\lim_m\int \mathbf 1_A\mathrm d\mu_m \\ &= \lim_m\mu_m(A) \end{align*}$$Qu'est-ce qui justifie en fait l'interversion des limites à la 4ème ligne ?
  • Rien ne justifie l'inversion des limites car justement on ne peut pas les inverser :mrgreen: (on peut trouver des contre-exemples)

    Pour l'unicité de la limite c'est plus compliqué que ce que je pensais, on peut le montrer comme j'ai dit mais ce n'est pas la façon standard de procéder. Tu peux la montrer comme ça : 

    Supposons que $(\mu_n)$ est une suite de proba qui converge étroitement vers $\mu$ et $\nu$ (donc deux limites à priori). Alors pour tout $\varphi$ continue bornée, $\int \varphi d\mu=\lim_n \varphi d\mu_n=\int \varphi d\nu$. Donc pour toute $\varphi$ continue bornée, $\int \varphi d\mu=\int \varphi d\nu$. Il s'agit donc de montrer que deux mesures de probabilité vérifiant la condition précédente sont égales.

    À partir de là si on utilise la densité des fonctions continues à support compact ça donne : soit un borélien $A$, et une suite $(\varphi_n)$ de fonctions continues à support compact convergeant en norme $L^1(\mu+\nu)$ vers $\mathbf 1_A$ (donc cette suite converge en norme $L^1(\mu)$ et en norme $L^1(\nu)$). On a: $\mu(A)=\int \mathbf 1_A d\mu= \lim_n \int \varphi_n d\mu=\lim_n \int \varphi_n d\nu=\int \mathbf 1_A d\nu=\nu(A)$, ce qui prouve que $\mu=\nu$.

    La façon standard utilise le théorème de la classe monotone, tu trouveras ça dans tous les bouquins qui traitent le sujet.
  • Je vois merci, juste un détail: $L^1(\mu+\nu)$ désigne l'ensemble des fonctions $\varphi$ tels que $\int |\varphi|\mathrm d\mu<\infty$ et $\int |\varphi|\mathrm d\nu<\infty$ c'est ça?
  • Oui. Plus précisément si tu as deux mesures (bornées) $\mu$ et $\nu$ tu peux les additionner pour obtenir encore une mesure $A\mapsto \mu(A)+\nu(A)$ (bornée). De plus on a le résultat suivant : pour toute fonction mesurable positive $f$, $\int f d(\mu+\nu)=\int f d\mu+\int f d\nu$. Donc $f$ est intégrable pour la mesure $\mu+\nu$ ssi elle est intégrable pour $\mu$ et pour $\nu$.

    Autre chose, en regardant ton développement ICI j'ai l'impression que tu penses que si $(\mu_n)$ tend étroitement vers $\mu$ alors pour tout borélien $A$, $\lim_n \mu_n(A)=\mu(A)$. Ceci est faux. Par exemple si tu considères la suite $(\delta_{1/n})$ de mesures de Dirac centrées en $1/n$ alors pour toute fonction $\varphi$ continue et bornée, $\lim_n\int \varphi\delta_{1/n}=\lim_n \varphi(1/n)=\varphi(0)=\int \varphi \delta_0$. Donc la suite $(\delta_{1/n})$ converge étroitement vers $\delta_0$ mais $\lim_n \delta_{1/n}(\{0\})=0\neq \delta(\{0\})=1$.
  • Je vois merci, oui je me suis emmêlé les pinceaux on dirait  :)
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