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Et si $\alpha$ n'est pas réel ?

Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonjour
Je suis dans le chapitre des séries entières, et dans ma feuille d'exercices, j'ai ajouté cet exercice, tiré d'un oral de Centrale en MP en 2015 et repris aux Mines en PSI en 2019.
Soit $\alpha \in \R\setminus \N$.
  1. Déterminer le développement en série entière $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ de la fonction $x\mapsto (1+x)^{\alpha}$.
  2. Montrer qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\alpha-1}$. On pourra poser $b_n =|a_n| n^{\alpha+1}$ et étudier $v_n=\ln(b_{n+1})-\ln(b_n)$.
  3. Déterminer les valeurs de $\alpha$ telles que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n$ converge, et calculer sa somme dans ce cas.

La première question est une question de cours. On trouve classiquement que pour tout $n\in\N$ : \[a_n=\binom{\alpha}{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} (\alpha-k)\]L'indication de la deuxième question permet de prouver que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n$ converge et de conclure pour obtenir l'équivalent de $|a_n|$.
On en déduit alors que la série de la troisième question est absolument convergente lorsque $\alpha >0$ (et bien sûr lorsque $\alpha=0$), qu'elle est grossièrement divergente lorsque $\alpha\leq -1$. On arrive ensuite à prouver qu'elle vérifie le critère des séries alternées lorsque $\alpha\in \left]-1,0\right[$ et que la série entière converge uniformément sur $\left[0,1\right[$, ce qui permet de conclure.

La question qui m'est alors venue est : "Qu'en est-il si $\alpha \in \C$ ?"

Ma réflexion jusque là.

  1. Le développement en série entière est encore valable, quelque soit la valeur de $\alpha \in\C$.
  2. La même technique que la question 2) permet de prouver qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\Re(\alpha)-1}$.
  3. On en déduit de la même façon les résultats suivants :
  • si $\Re(\alpha) >0$, la série de la dernière question est absolument convergente et donc la série entière uniformément convergente sur $[0,1]$, ce qui permet de conclure ;
  • si $\Re(\alpha) \leq -1$, cette même série diverge grossièrement.
Il reste donc à étudier les cas où $\Re(\alpha) \in \left]-1,0\right]$ et $\Im(\alpha) \neq 0$.
Je pense qu'une transformation d'Abel devrait faire l'affaire.
Plus précisément, si on pose pour tout $n\in\N$, $u_n =\frac{a_n}{|a_n|}$ puis $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$, j'ai réussi à établir que si la suite $(S_n)_{n\in \N}$ est bornée alors on peut conclure que la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n $ converge vers $2^{\alpha}$ comme on s'y attend.

Sauriez-vous comment démontrer cette conjecture en prouvant que la suite $(S_n)_{n\in \N}$ est bornée ?
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Réponses

  • Tu as regardé du côté du théorème de Tauber ?
  • Modifié (January 2022)
    Ni le théorème original de Tauber, ni la version améliorée de Littlewood ne peuvent s'appliquer car $(n|a_n|)_{n\in\N}$ n'est pas bornée, dans le cas qui m'intéresse.
    Par ailleurs, je ne crois pas non plus que l'on puisse transformer l'écriture pour appliquer le théorème de Hardy-Littlewood-Karamata.
  • Modifié (January 2022)
    Bonjour,
    J'ai l'impression que ce qui suit atteste bien du caractère borné de la suite $(S_n)$.
    $v_n  := u_{2n}+ u_{2n+1}. \quad $ Il suffit de prouver que   $\{\sum_{k=0} ^n v_k \mid n \in \N^*\}$ est borné.
    $\alpha= a+b\mathrm i, \:\: -1<a\leqslant 0, \quad b>0, \quad u_n = \dfrac{a_n}{|a_n|} = \displaystyle \exp \left( \mathrm i \sum_{k=0}^{n-1}\text{Arg}(\alpha- k)\right)=  \exp \left( \mathrm i \sum_{k=0}^{n-1}\pi -\text{arctan}\left(\frac b{k-a}\right)\right).$
    Notons: $t_n=: \text{arctan}\left(\frac b{n-a}\right), \:\:\: T_n:= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} t_k. \quad  $ Alors: $ \:\: u_n = (-1)^n \exp (-\mathrm i T_n).\quad t_n\underset{n\to + \infty}\sim \dfrac bn, \quad t_n - t_{n+1} = O\left( \dfrac 1{n^2} \right).$
    $2v_n = 2\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n}\right) }\left( 1-\mathrm e^{-\mathrm i t_{2n}} \right) =  2\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right ).$
    D'autre part: $\quad \mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n+2}}=\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}}\left(1-\mathrm e^{-\mathrm i t_{2n} - \mathrm i t_{2n+1}} \right) =\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+t_{2n+1}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right )=2\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right ).$
    $$2v_n-\left( \mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n+2}}\right) = O\left(\dfrac 1{n^2}\right).$$
    $\exists K \in \R^+$ tel que: $ \quad \forall n \in \N, \qquad  \left|\displaystyle \sum _{k=0}^n \left(v_k - \dfrac { \mathrm e^{-\mathrm i T_{2k}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2k+2}}}2 \right) \right|<K, \quad \displaystyle  \left|\sum_{k=0}^n v_k \right| < K+1.$
  • Merci @LOU16 et bravo !
    Il me manquait juste ton avant-dernière ligne. J'avais pensé à mettre des arctangentes et à user de développements asymptotiques de ta suite $(v_n)$ mais je n'ai pas trouvé la bonne série télescopique qui aurait le même développement.

    Je vais pouvoir rédiger cela proprement, au cas (peu probable cette année, mais sait-on jamais) où un élève me poserait la question.
  • Modifié (January 2022)
    Je suis peut-être à côté du sujet mais il me semble qu'on peut montrer assez directement que la série converge quand $-1<\alpha\leq 0$.
    On a
    $$a_{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}\alpha+1-k=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$
    Maintenant si \alpha\in]-1,0] on a \alpha+1\in]0,1] et 1-\frac{\alpha+1}{k}>0. Ensuite
    \log\left(\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)
    Comme
    \log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\left(\alpha+1\right)}{k}+O\left(k^{-2}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log(n)+O(1)
    on a
    \exp\left(\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)\right)\ll\frac{1}{n}
    Ainsi a_{n}=(-1)^{n}b_{n} avec b_{n}>0 et b_{n}\ll\frac{1}{n} donc \sum a_{n} converge.
    Edit 1. Je suis à côté du sujet!
    Edit 2. Voici ma version corrigée
    On a
    $$a_{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}\alpha+1-k=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$Ensuite on a en utilisant la formule de Gauss pour la fonction $\Gamma$ : $$\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}=\frac{n^{-\alpha}}{\Gamma\left(-\alpha\right)}\left(\frac{1}{n}+\frac{\alpha\left(\alpha+1\right)}{2n^{2}}+O\left(n^{-3}\right)\right).$$Donc$$\sum_{k=1}^{N}a_{k}=\frac{1}{\Gamma\left(-\alpha\right)}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k}}{k^{1+\alpha}}+X_{N},$$où $X_{N}$ est une chose qui converge lorsque $N$ tend vers l'infini lorsque $-1<\Re\alpha\leq0$. Comme $\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k}}{k^{1+\alpha}}$ converge dès que $\Re\alpha+1>0$ on en déduit que $\sum a_{n}$ converge si $-1<\Re\alpha\leq0$.
  • Modifié (January 2022)
    Je ne comprends pas le problème avec ma méthode. Il suffit ensuite d'appliquer le théorème de continuité d'Abel étendu aux complexes :
    1) Si $\sum a_{n}z^{n}$ converge vers $f(z)$ pour tout $z$ vérifiant $\left|z\right|\in[0,1[$
    2) $\lim_{z\rightarrow1}f(z)=\ell$ avec $z$ dans un secteur de Stoltz (ici $z$ réel $\rightarrow1^{-}$ marche)
    3) $\sum a_{n}$ converge
    Alors on a nécessairement $\sum a_{n}=\ell$
    Non ?
  • Modifié (January 2022)
    Je pense que ta méthode est correcte mais elle utilise le théorème d'Abel et la formule de Gauss donnant la fonction $\Gamma$.
    Ces deux choses pourraient faire l'objet d'un exercice à part entière...
    L'idée était plutôt de trouver une méthode que des élèves (très) doués pourraient trouver par eux-mêmes.
    Utiliser la transformation d'Abel me parait une méthode parfaitement adaptée, car facile à retenir (ce n'est rien d'autre qu'une IPP discrète), à mettre en œuvre et à prouver : il suffit d'écrire le calcul.
    On redémontre ainsi un cas particulier du théorème d'Abel, mais sans le savoir.
  • Modifié (January 2022)
    Merci je comprends la philosophie.

    @bisam Edit: Sans la formule de Gauss on peut quand même montrer la convergence à condition d'admettre l'utilisation du log. En effet de

    $$a_{n}=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$

    on a $\sum a_{n}=\sum b_{n}$ avec

    $$b_{n}=\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}-\prod_{k=1}^{2n+1}1-\frac{\alpha+1}{k}=\frac{\alpha+1}{2n+1}\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$

    En prenant le logarithme complexe

    $$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$

    comme $\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\alpha+1}{k}+O\left(k^{-2}\right)$ on obtient

    $$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log2n+O(1)\Rightarrow\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}=(2n)^{-\Re\alpha-1}f(n)$$

    où $\left|f\right|$ est bornée. On a donc

    $\left|b_{n}\right|\ll\frac{1}{n^{2+\Re\alpha}}$ et comme $2+\Re\alpha>1$ on conclue que $\sum a_{n}$ converge.

    Je ne sais pas si ça reste dans le cadre des programmes.

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