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Un tour en orbite autour de l'arbre de Collatz

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Réponses

  • Modifié (17 Jan)
    PMF, je vais essayer d'expliquer ce qui ne va pas ! N'y vois aucune animosité de ma part.

    Dans ce fil, tu fais des observations, et ensuite tu nous poses des questions (certaines même que tu appelles amusantes)
    Pour faire des mathématiques, tu peux effectivement faire des observations, puis te poser des questions et surtout y répondre toi-même via des preuves, des contre-exemples, etc...
    Ici, tu nous présentes tes observations, et tu nous poses des questions. Ces questions ne semblent pas particulièrement intéressantes (selon la majeure partie des intervenants de ce fil). Si tu veux les rendre intéressantes, à toi d'apporter des preuves ou des contre-exemples, pour que ces questions que tu te poses ne soient plus des questions. Mais tu ne peux pas nous en vouloir de ne pas nous intéresser à tes questions, car nous ne nous les sommes pas posées (certains diront pour de bonnes raisons...).
  • DomDom
    Modifié (17 Jan)
    Autre possibilité quand on fait des statistiques sur quelques entiers : proposer une autre conjecture. 
    Même ça, j’ai tenté plusieurs fois mais… aucune réponse. Tu préfères ignorer (tiens, pourquoi ?) et continuer dans ton sillon qui boucle et reboucle…
    Je t’avais déjà demandé : as-tu une conjecture à proposer sur tes travaux ?
  • PMFPMF
    Modifié (17 Jan)
    Zgrb (Zorglub?) @gerard0

    C'est curieux mais je n'ai jamais sur ce fil posé une question à quelqu'un mais expliqué ce que j'étais en train de faire. C'est peut-être ce "en train de" puisqu'il n'est pas abouti qui vous donne cette impression. Communiquer sur un travail en cours est dire "je me pose la question de" et effectivement que l'on comprenne qu'implicitement la même question soit posée à tout le monde. Ecrire en cherchant des réponses serait donc la stratégie que vous me prêtez. J'appellerai plutôt ça échanger, mais bon, à chacun sa vision du monde. 

    D'autre part, je ne vois pas pourquoi je suis systématiquement vu comme l'homme des petits nombres, des bouts de stats, etc... J'ai montré que l'on pouvait construire un arbre de Collatz indéfiniment avec des règles et non du calcul. Sans utiliser les entiers du tout. Je peux le montrer de manière plus précise via un code (si le code le fait, c'est la preuve qu'on peut le faire) mais je suis "en train de le faire" justement. 

    Peut-être que j'aime bien partager. Où est le mal? Je ne sais pas quelle idée vous vous faites de la croissance et de la distribution des entiers dans un arbre de Collatz mais un petit tableau comme celui-ci montre très bien ce qu'il se passe. Oui c'est un peu des stats et oui c'est des petits entiers (34 orbites). Mais vous vous sentez blessés si je poste ça sur ce forum ? ça ne peut vraiment être utile à personne ? Que je chercherais à escroquer vos connaissances par cette attitude sournoise ? Sérieux ?

    Répartition des 1878 impairs parmi les 34 premières orbites en fonction d'une échelle en puissance de 10 


  • Modifié (17 Jan)
    Bizarre de confondre Df avec Dfshr8 !
    Et de ne pas se rendre compte que "partager" donne une drôle d'idée de la mentalité du "partageur" (on ne partage pas des riens qui font des pages, si on est intelligent). Les interventions pour dire qu'il n'y a rien ont au moins le mérite d'alerter des naïfs qui pourraient croire que c'est des maths (ici, c'est un forum de maths).
    Bon, je laisse PMF jouer seul.
  • PMF, votre construction de l'arbre et l'arbre n'ont presque aucun intérêt pour "résoudre" la conjecture de Syracuse. Cela donne de jolis chiffres, mais vous pourriez construire cet arbre bien plus grand que votre arbre actuel que l'on avancerait pas !
    Ce qui serait utile serait de savoir si, avec votre façon de remplir l'arbre, il contient tous les entiers ou non. Malheureusement votre construction ne permet pas de répondre à cela. L'intérêt est donc très limité...

    Après si je comprends bien vos dires, c'est un travail en cours. Du coup c'est facile. Si on critique les résultats actuels, vous répondez que ce n'est pas fini. Et si on dit que ca n'aboutira pas, vous répondez que l'on veut vous décourager...

    Bref, bon courage, revenez nous raconter tout cela lorsque le travail sera terminé !
  • Modifié (17 Jan)

    @PMF : Quand Jean-Paul Delahaye et consorts écrivent leurs livres, ils ne sont pas destinés aux mathématiciens mais aux gens comme moi qui font preuve de curiosité.

    La différence entre J-P Delahaye et toi est qu'il est un excellent vulgarisateur, ce que tu n'es pas. S'il est capable de se faire comprendre des néophytes c'est parce qu'il se met à leur portée. Depuis combien de temps as-tu le nez plongé dans ton modèle ? Deux ans je suppose ? Combien de temps penses-tu que chaque intervenant de ce fil y a consacré ? Est-ce que dix minutes te semblerait correct ?

    Il y a deux catégories de personnes : celles comme J-P Delahaye qui maîtrisent l'art de se faire comprendre, et celles comme toi qui sont incapables de s'expliquer clairement et qui partent du principe que puisqu'elle comprennent ce dont elles parlent, tout le monde peut comprendre. Eh bien non. Les tableaux que tu as postés ci-dessus, en particulier celui sur font gris, l'ont été sans aucune explication sur ce qu'ils représentent, sur la manière dont il faut les lire, et tu n'as proposé aucun exemple. Dans ces conditions, comment veux-tu que quiconque comprenne quoi que ce soit à ce que tu as en tête ? Les gens qui ne comprennent pas au bout d'un temps assez court ont pour habitude de renoncer et de zapper, parce qu'ils ont d'autres chats à fouetter.

    Morale de l'histoire : tu devrais reprendre tes explications comme si tu t'adressais à des gens qui n'ont aucune idée de ce dont tu parles, ce qui d'ailleurs est le cas (au moins en ce qui me concerne).

    @lourran : Un type nommé PMF arrive, et il leur dit : De l'eau sur Vénus ? C'est absurde. De l'eau sur Saturne ? c'est absurde.

    Eh bien ce PMF-là a parfaitement raison. La température moyenne sur Vénus est de 462°. Quant à Saturne, c'est une planète gazeuse. Donc il n'y a d'eau ni sur l'une ni sur l'autre.

  • @Wilfrid
    Bonne année à toi aussi cher Wilfrid

    Tu pourrais mettre à ma décharge que le temps de lecture consacré à un fil doit se compter en secondes, Lourran se vantant d'ailleurs d'avoir lu une ligne sur 10. Même Superman ne fait pas mieux. Mais bon pour faire comprendre quelque chose, ça devient mission impossible.

    C'est toujours très difficile d'expliquer clairement ce genre de choses - tu le sais très bien toi-même. Combien de gens ont vraiment compris ton automate ? C'était pourtant passionnant.

    On peut toujours faire mieux. Mais quand je mets plein d'exemples, on me dit que je noie le fil de tableurs, et si je n'en mets pas, on balance le reproche inverse. Arg !

    Note une chose par rapport à mon modèle de l'année précédente. J'ai compris qu'il n'y avait rien à tirer des suites individuelles, des montées, des descentes, des temps de vol. L'arbre est le plus important et mon travail consiste à apprendre à le construire sans recours à l'algorithme.  Ce qui est très proche de ton automate : trouver des règles et aboutir à une construction automatique qui est structurellement identique à l'arbre de Collatz. Espérance : l'étude de ce système qui ne dépend plus des entiers mais qui repose sur une logique identique peut être fécond. Enfin, c'est une espérance.

    Note : le dernier tableau "Répartition des 1878 impairs parmi les 34 premières orbites en fonction d'une échelle en puissance de 10 " est pourtant explicite quant à son titre. Je pourrais mieux le commenter mais qui le lira ? Donc pour faire court, ce tableau montre que l'arbre produit beaucoup de trous (discontinuité de séries continues d'entier) au fur et à mesure des orbites. En bas à droite, on voit que le créneau 10^9 à 10^10 a été occupé par un seul entier puisque le comptage est passé de 1877 à 1878 sur les dernières orbites. Il reste donc quasi 9 milliards d'entiers à trouver, et ce à charge des orbites futures.
  • J'ai vu le premier graphique, en cercle.
    Celui-ci vient de Wikipédia, les gens intéressés peuvent (doivent) aller chercher l'explication sur Wikipedia.
    Puis un tableau ... que j'ai passé un peu vite.
    Puis un graphe intitulé 'Distribution des impairs pour un arbre de 34 orbites'  Celui-ci ne vient pas de Wikipédia, je ne sais pas où aller chercher l'explication.

    Ce qui serait bien, ce serait que quelqu'un fasse l'effort d'expliquer ce que contient ton graphique. Toi, tu ne veux pas le faire, visiblement. Qui voudra ? Ou plutôt, qui pourra ?
    Pas de ligne directrice, pas d'effort pour rendre tout ça lisible. 

    On a des tableaux, et des graphes. On ne sait pas ce qui est représenté. La seule chose qu'on sache, c'est que tout ça ne mènera à rien.

    Visiblement, les 100 pages d'échanges sur le sujet l'année dernière n'ont servi à RIEN.  
    J'ai investi tout ce temps pour rien. Et ça me désespère. 
  • @Zgrb
    L'arbre peut être construit en ne suivant que des règles d'arborescence pour aboutir à une pure construction logique qui ne contient qu'elle-même. Elle n'a plus rien à voir avec les entiers, et pourtant on peut dire que les entiers suivent exactement la même règle "sans le savoir" quand ils peuplent l'arbre.  Cette construction abstraite a des propriétés, elle peut prendre certaines formes, grandir d'une certaine manière, bref tout ceci est analysable surtout si on arrive à écrire le code qui est capable de le faire. 
    Effectivement parler d'un travail en cours peut être interprété comme une position insincère. Ou pas... 
  • PMFPMF
    Modifié (18 Jan)
    @lourran
    je pense que tu m'as lu un peu vite mais qu'à ta décharge mes explications n'étaient pas parfaites.
    Voici ma méthodo en quelques mots :
    1) J'ai pris la référence de l'arbre de wikipedia (20 orbites) et j'ai créé un script VBA qui crée ce même arbre mais sous forme de tableau.
    2) Ce tableau est construit de tel sorte que les nouveaux impairs créent de nouvelles colonnes (1 impair par colonne, la première c'est les puissances de 2)
    3) cette structure permet une analyse facile au moins pour la croissance et la dispersion des valeurs (les ''trous'')
    4) ce qui est plus intéressant c'est de transformer les impairs du tableau en codage de lignée (leur position dans l'arbre ou chemin ''généalogique'')
    5) à partir de là, on peut trouver des règles qui peuvent générer ces positions sans calculer avec l'algorithme (je suis "en train de le faire")
    6) l'objectif est de montrer in fine que la construction de l'arbre est la seule possible : alors tous les entiers sont dans l'arbre
    Voici le script (max 34 itérations dans Excel):
    Dim x As Long
    Dim y As Long
    Dim P As Long
    Dim I As Long
    Cells.Select
    Selection.ClearContents
    Range("A1") = 1
    Application.ScreenUpdating = False
    For L = 1 To 34
    Range("A1").Select
    ActiveCell.Offset(L - 1, 0).Select
    x = 0
    Do Until ActiveCell = ""
    ActiveCell.Offset(0, 1).Select
    x = x + 1
    Loop
    ActiveCell.Offset(1, -x).Select
    For P = 0 To x - 1
    ActiveCell = ActiveCell.Offset(-1, 0).Value * 2
    ActiveCell.Offset(0, 1).Select
    Next
    For I = 1 To x
    y = ActiveCell.Column
    If Int((ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3) = (ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3 Then
    ActiveCell = (ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3
    If ActiveCell Mod 2 = 1 And ActiveCell.Value > 1 Then
    ActiveCell.Offset(0, 1).Select
    Else
    ActiveCell.ClearContents
    End If
    End If
    Next
    Next
    Application.ScreenUpdating = True
  • 5) à partir de là, on peut trouver des règles qui peuvent générer ces positions sans calculer avec l'algorithme (je suis "en train de le faire")

    Voila qui est intéressant ! Si tu parviens à faire cela pour tout entier impair : je te donne un impair quelconque, ton algo me donne sa position dans l'arbre (sans générer tout l'arbre), tu auras résolu la conjecture !
    Je te laisse revenir vers nous quand tu auras réussi (je ne veux pas te décourager mais j'ai peu d'espoir que cela aboutisse)
  • Ceci est plus de l’ordre de l’expérience de pensée que de la démonstration, mais c’est en tous cas ce qui me motive pour essayer de construire un arbre de Collatz sans recours à l’algorithme, cad une pure structure hiérarchique qui s’auto-construit en se basant sur des règles. Ceci doit conduire au fait que cette structure soit la seule possible quand on l’applique aux entiers. Comme ce travail est long, autant être persuadé à l’avance qu’un seul arbre contient bien tous les entiers. Voici donc mon raisonnement :

    Appelons ‘’impair commun’’, tout impair qui se trouve dans l’arbre de Collatz : plus précisément c’est un impair qui apparaitra nécessairement dans l’arbre au bout de n orbites. On peut aussi dire que pour tout impair commun, il existe toujours une combinaison d’embranchements qui lui donne sa place dans l’arbre. La croissance de l’arbre étant enfin infinie, il existe donc une infinité d’impairs communs.

    Mais cette infinité est-elle la totalité, ou tous les impairs sont-ils bien des impairs communs ? Comme on ne le sait pas, on suppose donc l’existence potentielle d’un ''impair exotique'' qui ne serait pas dans l’arbre. Ce qui est important, ce n’est pas de prouver qu’il existe, mais de voir ce qu’il se passerait s’il existait.

    On va donc procéder par élimination de scénarios. Le plus simple pour commencer concerne un impair exotique à l’origine d’une suite infiniment divergente, une suite interminable ne revenant jamais à 1. De quoi est-elle composée ? D’autres impairs. Sont-ils communs ou exotiques ? Ils sont tous forcément exotiques s’ils font partie de cette suite qui jamais n’aboutit. Il y a donc une infinité d’impairs exotiques dès lors qu’on en a trouvé un seul. Pire encore : qu’il y avait-il avant ce premier impair exotique ? Un impair commun ou un impair exotique ? Cet impair exotique, si s’en est un, a des prédécesseurs, et il faut admettre que dans ce sens-là ils devraient aussi tous être exotiques. Car comment penser qu’il puisse y avoir à un moment donné un i commun qui devienne par l’opération i*2^n-1/3 un i exotique. On est dans l’arbre et hop on y est plus… Dans cette optique, il existerait une infinité d’impairs exotiques, coexistante avec l’infinité des impairs communs, mais sans aucun pont entre elles. Un monde parallèle en somme. A éliminer (à mon niveau du moins).

    Plus retorse est l’existence supposée de cycles non triviaux. En d’autres termes, il y aurait d’autres 1 et les impairs seraient organisés en une infinité d’arbres ayant chacun sa propre souche exotique (<>1). C’est bien gentil mais encore une fois d’où vient l’impair exotique qui aboutit à une souche exotique ? Quel est le prédécesseur de cet olibrius ?  Un impair commun ou un impair exotique ? Il est impossible qu’une chaine d’impairs communs en direction de 1 saute sur une nouvelle chaine en direction d’une souche exotique, car dans ce cas, ces impairs communs seraient tous des impairs exotiques.

    Il n’y a jamais de pont possible entre impair commun et impair exotique. C’est une logique de contamination. Imaginons un monde infini entièrement blanc. Un contaminant rouge arrive et commence à le transformer. Sa propagation virale progresse de plus en plus vite sans que jamais rien ne puisse l’arrêter. Le monde infini blanc va devenir rouge tout infini qu’il soit. Au mieux, les nouvelles particules naitront blanches si c’est la propriété de ce monde pour instantanément devenir rouges sous l’effet du contaminant. Mais ce n’est pas une coexistence rouge-blanc car il n’y a de fait plus de monde blanc.

    Donc l’existence de cycles non triviaux impliquant la coexistence des impairs communs et exotiques ne peut être avérée du fait que l’existence d’impairs exotiques contaminerait immanquablement les impairs communs. Ce n’est pas l’existence des impairs exotiques qui est impossible, c’est leur coexistence avec les impairs communs.

    Or nous ne voyons que des impairs communs, n’est-ce pas ?

    sur ce lien, on peut lire en conclusion :

    http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-y-a-t-il-des-cycles-non-triviaux-III#:~:text=La%20trajectoire%20de%20n%20est,3%2C%20appel%C3%A9%20le%20cycle%20trivial.

    "On a montré que tout hypothétique cycle de Collatz non trivial C dans les entiers positifs doit contenir au moins 17 milliards d’éléments, s’il existe. Cela ne répond pas, hélas, à la question du titre de cet article. Mais c’est déjà ça, en attendant mieux.

    Et un léger mieux viendra peut-être bientôt. En effet, cette borne de 17 milliards repose sur la vérification actuelle du problème 3n+1 jusqu’à 10^18. Lorsque la vérification future du problème atteindra 2,17×10^20, dans quelques années sans doute, alors notre borne inférieure sur les longueurs de cycles sautera de 17 milliards à ... 186 milliards, d’un seul coup  ! À part une bonne calculette, tous les ingrédients théoriques et numériques nécessaires pour s’en convaincre se trouvent dans cet article. Qui est partant pour le vérifier ?"


  • quote : "Dans cette optique, il existerait une infinité d’impairs exotiques, coexistante avec l’infinité des impairs communs, mais sans aucun pont entre elles. Un monde parallèle en somme. A éliminer (à mon niveau du moins)."

    Malheureusement.... il existe bien une infinité de nombres entiers pairs, coexistant avec une infinité de nombre entiers impairs, sans aucun pont entre eux...
    Donc pas à éliminer !
    Tu peux faire entrer plusieurs infinis dans un infini.
    Je t'invite à regarder cette vidéo du très pédagogue El Jj qui expliquera cela bien mieux que moi :

  • quote : "Plus retorse est l’existence supposée de cycles non triviaux. En d’autres termes, il y aurait d’autres 1 et les impairs seraient organisés en une infinité d’arbres ayant chacun sa propre souche exotique (<>1). C’est bien gentil mais encore une fois d’où vient l’impair exotique qui aboutit à une souche exotique ? Quel est le prédécesseur de cet olibrius ?  Un impair commun ou un impair exotique ? Il est impossible qu’une chaine d’impairs communs en direction de 1 saute sur une nouvelle chaine en direction d’une souche exotique, car dans ce cas, ces impairs communs seraient tous des impairs exotiques.

    Il n’y a jamais de pont possible entre impair commun et impair exotique. C’est une logique de contamination. Imaginons un monde infini entièrement blanc. Un contaminant rouge arrive et commence à le transformer. Sa propagation virale progresse de plus en plus vite sans que jamais rien ne puisse l’arrêter. Le monde infini blanc va devenir rouge tout infini qu’il soit. Au mieux, les nouvelles particules naitront blanches si c’est la propriété de ce monde pour instantanément devenir rouges sous l’effet du contaminant. Mais ce n’est pas une coexistence rouge-blanc car il n’y a de fait plus de monde blanc.

    Donc l’existence de cycles non triviaux impliquant la coexistence des impairs communs et exotiques ne peut être avérée du fait que l’existence d’impairs exotiques contaminerait immanquablement les impairs communs. Ce n’est pas l’existence des impairs exotiques qui est impossible, c’est leur coexistence avec les impairs communs."


    Cette partie est également erronée. Si il existe un (ou plusieurs) autres cycles non triviaux, comme ce sont ces cycles, le prédécesseur de chaque element du cycle est un élément du cycle.

    Ex le cycle (-5) -> (-14) -> (-7) -> (-20) -> (-10) -> (-5) -> (-14) -> (-7) -> (-20) -> (-10) -> (-5) -> (-14) -> (-7) -> (-20) -> (-10) -> (-5) pour les entiers négatifs

    Pour répondre à ce qui est en noir, l'impair exotique du cycle serait juste hors de ton arbre "commun", ainsi que tous ses successeurs (et prédécesseurs, qui sont la même population car c'est un cycle)

  • En tous cas, je te remercie pour ton dernier message PMF, qui explique plus clairement ta pensée mathématique.
    La dessus, c'est plus facile de discuter. J'ai essayé de te donner des arguments, tu me diras si tu es d'accord avec moi ou non.
  • Cet impair exotique, si s’en est un, a des prédécesseurs,

    Tu t'appliques beaucoup à faire des belles phrases avec des envolées quasi-lyriques. Et tu en oublies tout le coté mathématique.
    Normal. Si tu regardais le côté mathématique, tu verrais que tout ça fait pschitttttt.
    C'est le choix que tu as fait : Ne pas utiliser le jargon courant, ne pas se préoccuper des réalités mathématiques, surtout, faire en sorte qu'il y ait le moins de lien possible entre ce que tu fais et les dures réalités terrestres. Tu as choisi de faire du théâtre, pas de faire des maths.

    Rappel :  Un impair a forcément un successeur, mais Il n'a pas forcément de prédécesseur. Et inutile d'aller très loin pour trouver des impairs sans prédécesseur : 3 n'a pas de prédécesseur impair.
  • @lourran
    tous les impairs multiples de 3 sont stériles et n'auront donc pas de descendance. Mais ils peuvent être issus d'un impair
    Quand ils sont directement issus d'une puissance de 2 et aussi multiples de 3 (21) ils sont directement reliés à 1 et sans descendance impaire
    Cela n'empêche en rien qu'ils soient sur l'arbre pour une bonne raison
    J'espère que ma réponse n'est pas trop théâtrale.
  • @lourran
    tous les impairs multiples de 3 sont stériles et n'auront donc pas de descendance. Mais ils peuvent être issus d'un impair
    Quand ils sont directement issus d'une puissance de 2 et aussi multiples de 3 (21) ils sont directement reliés à 1 et sans descendance impaire
    Cela n'empêche en rien qu'ils soient sur l'arbre pour une bonne raison
    J'espère que ma réponse n'est pas trop théâtrale.
  • Tu as choisi d'utiliser ton propre vocabulaire, il faut donc définir les mots précisément. Un glossaire serait utile.

    Descendant, successeur, prédécesseur ... ce sont des termes que tu vas employer régulièrement.
    Successeur et prédécesseur, ce sont certainement des notions complémentaires , si A est LE successeur de B , B est UN prédécesseur de A ... ou quelque chose comme ça.   51 est un prédécesseur de 77  ... à moins que ce ne soit l'inverse.

    Descendant ou successeur, c'est la même notion ?  Ou alors c'est descendant et prédécesseur qui sont synonymes ?  Ou peut-être que descendant, c'est comme prédécesseur, mais en regardant toutes les générations  :  77 est LE successeur de 51, 29 est LE successeur de 77 , et 77 et 29 sont les 2 premiers descendants de 51   
    A moins que ce ne soit l'inverse ...

    Tu parles à des matheux. Les matheux sont des gens très terre à terre. Ils aiment bien les choses claires et précises, ils aiment bien quand les mots ont une signification très précise.
    Tous les paragraphes de leurs bouquins commencent par des définitions. Ils sont perdus s'ils n'ont pas des définitions précises.

    Je suis convaincu que je t'avais déjà donné ce conseil il y a un an, mais bien sûr, tu t'assois dessus.
  • PMF, as tu pris le temps de lire mes messages ? Qu'en penses-tu ?
  • @zrgb
    Merci pour tes réponses.
    C'est pas forcément à mon niveau que je puisse contrer tes arguments comme il le faut - d'abord parce qu'ils sont certainement justes mathématiquement.

    C'est plutôt une histoire de point de vue.

    1) Comme tu l'as compris, j'essaie de ne pas sortir de l'arbre. Et cet arbre n'est pas que le résultat du calcul de l'algorithme. Il est aussi une construction logique qui existe par elle-même. Un arbre sans rien dedans si tu veux mais construit selon un schéma précis et répétitif. 
    Prenons ce tableau :

    Ce n'est pas important de savoir à quels entiers ces éléments correspondent dans l'arbre de COLLATZ. On lit ces codes comme des lignées de gauche à droite, de l'ancêtre vers les descendants. "1.2.12" indique un ancêtre "1" dont le deuxième enfant "2" a eu un douzième enfant "12". La colonne "g" regroupe les descendants directs d'un même ancêtre "1.2" et les colonnes g+1_x sont les descendants de la colonne G. 

    Quand tu regardes tout le tableau, on voit un cycle (une marche plus basse toutes les 3 colonnes) et aussi des sauts : pas de lignées commençant par 1.2.5 ou par 1.2.8. Ceci est parfaitement codable sans aucune autre contrainte que de respecter les cycles. Bien sûr c'est un tout petit bout de l'arbre, mais on pourrait l'étendre bien au-delà de ces 35 lignes sans aucune limite calculatoire. Mais surtout l'analyse de cette arborescence va nous donner des précisions importantes : ce qui y est, à quel endroit, et ce qui n'y est pas. 

    2) Je ne parle aussi que d'entiers positifs et plutôt des impairs. Sans discriminer les pairs, on ne code que l'arborescence des impairs (les pairs par déduction seront les jonctions). Et surtout il me faut toujours un arbre
    Si tu me dis que " il existe bien une infinité de nombres entiers pairs, coexistant avec une infinité de nombre entiers impairs, sans aucun pont entre eux..." et bien d'accord mais rien que de plus plus simple qu'ils coexistent sur le même arbre. Il suffit d'utiliser une variante simplifiée de l'algorithme de Collatz : une suite où le successeur de n est n/2 s'il est pair et n+1 s'il est impair.

    Il suffit d'écrire tous les chemins en prenant les impairs en ordre croissant sur la première ligne. En éliminant toutes les redondances (en rouge), ce qui reste est suffisant pour reconstruire tous les chemins de cet intervalle. Traduit en lignées ou en arborescence, cela donne :

    lire : les 15 enfants de 1 sur la ligne 1 ont tous un descendant sur la ligne 2 sauf le premier qui en a 2 (ligne 2 & 3)

    "Pour répondre à ce qui est en noir, l'impair exotique du cycle serait juste hors de ton arbre "commun", ainsi que tous ses successeurs (et prédécesseurs, qui sont la même population car c'est un cycle)"
    C'est exactement ce que je pense qu'il n'est pas possible car l'existence de l'un détruit celle de l'autre. Par par impossibilité de d'exister théoriquement mais par impossibilité de coexister. En tout cas sur le même arbre. Comment plusieurs arbres pourraient-ils s'arranger entre eux ?
    Mais je ne dis pas que tu n'as pas raison non plus. Je sais que ce que tu dis est l'état de l'art. ça me semble juste bizarre que les entiers nous jouent un tour pareil...
  • @lourran
    le fait de rester dans l'arbre va permettre d'être moins ambigu dans les termes.
    Comme l'arbre ne pousse que dans un sens, on ne parle que de chemins qui partent de la souche (ou du tronc) et finissent au dernier descendant (le bout d'une branche).
    Donc forcément le prédécesseur est plus près du tronc et le(s) successeur(s) vont vers le bout de la branche
    On définira donc les descendants comme tous les successeurs (descendants = successeurs)

    Le codage de lignée
    ne se lit que de gauche à droite, le point séparant le prédécesseur (à gauche du point) de son successeur (à droite du point)
    Le numéro entre les points est l'ordre d'apparition des successeurs du même prédécesseur qui sont de la de même génération.
    1.2.10.2 décrit 3 générations : attention le premier "1" n'est pas le 1 mais correspond à l'entier 5. Il est en effet le premier départ d'une branche depuis le tronc. Le tronc ne contient que les puissances de 2 et s'enracine dans la souche 1 (ici le vrai "1"). On n'indique jamais la souche "1", c'est inutile.

    1.2.10.2 c'est du "google maps" cad une route à suivre, un itinéraire Traduction : partir de la 1ere branche du tronc. Bifurquer au deuxième embranchement. Bifurquer au dixième embranchement. Bifurquer enfin au deuxième. Vous êtes arrivés.

    Cette façon de se déplacer dans l'arbre n'a nul besoin de l'algorithme. Si quelqu'un veut traduire 1.2.10.2 en entier, il faudra par contre recalculer un peu pour retrouver 12116877. Mais ce n'est pas ça qui est important. Si tu suis "google maps" tu arrives à 12116877 ou plutôt 1.2.10.2 sans rien calculer.

    Le but est d'arriver à construire un arbre strictement identique à celui de Collatz mais sans rien dedans d'autre que les codes de lignées. Donc beaucoup de règles individuelles à trouver, puis les optimiser (les unifier en quelques instructions) pour enfin avoir un code d'arbre. C'est assez facile de faire des petits bouts de l'arbre comme cela mais l'ensemble je ne sais pas si j'y arriverai. 

    C'est l'examen du code de l'arbre qui peut être fécond. Enfin peut-être...
  • Zgrb a dit :
    PMF, as tu pris le temps de lire mes messages ? Qu'en penses-tu ?
    oui je t'ai fait une réponse complète
  • C'est du Google Maps. 

    Quand Google maps dit : avancer de 100m, tourner à droite, avancer 200m, tourner à gauche, etc, il n'y a aucun souci. Les déplacements qu'il te propose existent tous.
    Et si je tape 10 chiffres ou 10 nombres au hasard, le chemin résultat sera forcément valide (en considérant qu'on est dans le désert, il n'y a pas de falaise etc etc)

    Quand on tape longitude + altitude, autre convention utilisée par Google Maps, on sait quels intervalles sont valides, et lesquels sont invalides.

    Avec ta notation 1.2.10.2, a-t-on les mêmes assurances.
    Si je tape une séquence comme 1.2.3.4.5 ou 1.2.4.8,  ou 1.2.1.2.1.2.1.2, il y a forcément un entier derrière ces notations, c'est garanti ?

    Si oui, ta notation est opérationnelle. 
    Si non, elle ne fait qu'ajouter des problèmes à des problèmes.

  • Malheureusement, tu n'as pas du tout saisi ce que je voulais dire pour le point 2...
    Il peut y avoir une infinité d'entiers dans ton arbre, ainsi qu'une infinité d'entiers hors de ton arbre, sans que cela ne pose problème !

    Je prenais un exemple analogue pour t'expliquer la situation.
    Imagine un arbre (l'arbre de Zgrb) contenant tous les entiers impairs. 1 -> 3 -> 5 -> 7 -> 9 -> 11 ...
    Cet arbre contient une infinité d'entiers ! On est d'accord.
    Cependant, on est également d'accord qu'il ne contient pas tous les entiers ? (Il y a d'ailleurs une infinité d'entiers qui n'y appartiennent pas, ce sont ceux communément appelés les entiers pairs)

    Donc je te le redis, il n'y a aucune raison pour que ton arbre, qui contient une infinité d'entiers, contienne tous les entiers. Il peut y avoir même une infinité d'entiers qui n'appartiennent pas à cet arbre.

    On peut prendre d'autres arbres (qui ne sont en fait que des ensembles de nombres) comme :
    L'arbre des nombres qui ne sont pas premiers, qui contient une infinité de nombres, avec de moins en moins de trous d'ailleurs, comme ton arbre de Collatz... mais il y a toujours une infinité de nombres (les nombres premiers) qui n'appartiennent pas à cet arbre.




    En ce qui concerne ton point 1), c'est peut être trop compliqué à expliquer pour moi mais tu vas avoir des soucis à représenter ton arbre sous cette forme.
    Ou peux-tu placer 1.2.1.1.1 ; 1.2.1.1.2 ; 1.2.1.2.1 et 1.2.1.2.2 dans ton tableau ?



    Quote : "C'est exactement ce que je pense qu'il n'est pas possible car l'existence de l'un détruit celle de l'autre. Par par impossibilité de d'exister théoriquement mais par impossibilité de coexister. En tout cas sur le même arbre. Comment plusieurs arbres pourraient-ils s'arranger entre eux ?"
    pour cette partie, comment expliques-tu alors la coexistence de plusieurs familles de nombres (et donc arbres), si on travaille la conjecture de Collatz sur les entiers relatifs (négatifs et positifs) du coup ?
    Il y a la famille des nombres qui terminent à 4>2>1>4>2>1.... (ceux qui t'interessent)
    Il y a la famille des nombres qui terminent à -2>-1>-2>-1...
    Il y a la famille des nombres qui terminent à -5>-14>-7>-20>-10>-5>...
    Il y a la famille des nombres qui terminent à -17, -50, -25, -74, -37, -110, -55, -164, -82, -41, -122, -61, -182, -91, -272, -136, -68, -34, -17 ...
    Ces familles s'arrangent entre elles de la façon suivante : Elle sont disjointes (c'est à dire n'ont aucun éléments en commun, aussi loin que tu aille chercher) !
    Il y a peut être d'ailleurs d'autres familles, qui sait ?
  • @lourran
    Et oui si on peut générer en théorie n'importe quelle lignée de n'importe quelle longueur, il y en a beaucoup qui ne sont pas valides.
    La faute aux multiples de 3 qui sont stériles. 

    Donc le codage des lignées a pour mission principale de t'emmener vers un entier et de ne pas te planter en plein désert.

    Il y a 3 manières de les générer :
    la facile où il suffit de convertir un chemin en comptant les bifurcations. Elle se fait avec l'algorithme. J'ai une petite macro qui fait ça très bien et j'ai donc le code des lignées des 1878 impairs dans un arbre de 34 orbites. Cette liste est gardée pour valider les autres méthodes

    la moyennement difficile : on fait un tableau qui va créer des lignées de manière textuelle en respectant des règles de décalage. On se passe de l'algorithme mais il faut faire petit bout par petit bout. Pas ou peu généralisable : dans cet exemple on développe les successeurs de 1.2. (col G) puis les successeurs de ceux-ci dans toutes les autres colonnes. Le tableau est réglé pour 35 orbites (une ligne = 1 orbite)

    la difficile : il y a moyen de générer un code universel. Il faut compiler beaucoup de la deuxième méthode à mon avis pour voir ce qui est se répète, se généralise. Je pense pouvoir faire des morceaux d'arborescence avec des petites lignées. L'arbre complet je n'en suis pas sur.
  • @Zgrb

    Regarde ma dernière réponse à @lourran qui répond en partie à tes questions

    pour "Ou peux-tu placer 1.2.1.1.1 ; 1.2.1.1.2 ; 1.2.1.2.1 et 1.2.1.2.2 dans ton tableau ?

    les deux premiers codes sont ceux du 7 et du 29 et se place dans le tableau en orbite 17 et 19 et colonne 29 et 41
    si tu suis le chemin de lignée dans l'arbre tu tombes dessus sans soucis

    Les deux autres 1.2.1.2.1 et 1.2.1.2.2 sont typiques de positions non occupées. Parce que 1.2.1.2 est un multiple de 3 (45)
    Le premier code de lignée après 1.2.1.1 est 1.2.1.3 qui va donner 1.2.1.3.1, 1.2.1.3.2, 1.2.1.3.3

    je regarde le reste de ton message et je reviens vers toi



  • @Zgrb
    je reviens sur ça
    "Donc je te le redis, il n'y a aucune raison pour que ton arbre, qui contient une infinité d'entiers, contienne tous les entiers. Il peut y avoir même une infinité d'entiers qui n'appartiennent pas à cet arbre."

    Oui si on fait en sorte d'exclure un groupe d'entiers de l'arbre, ils n'y seront pas

    La difficulté est qu'on veuille qu'ils y soient tous, mais que ça foire. 

    Voilà un exemple d'arbre avec des premiers. Le but est d'avoir une arborescence où le tronc contient un type de combinaison unique, par exemple celle que l'on peut faire avec 2, 3 et 5 et que la branche contienne 2^n*3^n*5^n

    donc si cet arbre est bien fait, je dois obtenir ça 

    L'arbre contiendra tous les entiers si on ne rate aucun premier, ni aucune combinaison. On voit aussi que si le code est bien écrit (colonne de droite) on peut lister les premiers (p1, p2, p3... étant leur rang) et faire les combinaisons avec ce qui est dispo au fur et à mesure. Ce qui donne cet ordre bien particulier dans le tableau. Mais si je me moque de l'ordre, je sais que quoi qu'il arrive cette liste ci-dessous serait la bonne (chaque ligne impliquant que l'on peut mettre n'importe quelle puissance au p indiqué pour remplir la branche)
    p1
    p2
    p1&p2
    p3
    p1&p3
    p2&p3
    p1&p2&p3
    p4
    p1&p4
    p2&p4
    p3&p4
    p1&p2&p4
    p2&p3&p4
    p1&p2&p3&p4
    p5
    ...
    Même sans connaitre les premiers, évidemment que tous les entiers vont venir se mettre dans cet arbre.

    Donc si tu veux comprendre mon point de vue, il faut que l'arbre ait l'ambition de réussir la collection demandée.

    Je dis que l'arbre de Collatz a l'ambition de contenir tous les entiers. Si on avait une vision aussi limpide de la structure de son arbre que le petit codage ci-dessus, cela serait évident pour tout le monde. Toute la question est de comprendre où dans l'arborescence quelque chose se perdrerait
  • @Zgrb
    "Ces familles s'arrangent entre elles de la façon suivante : Elle sont disjointes (c'est à dire n'ont aucun éléments en commun, aussi loin que tu aille chercher) !"
    Oui mais on est bien dans des ensembles disjoints par nature (les positifs ne sont pas les négatifs). Dans un ensemble défini non disjoint, les entiers positifs, qu'il y ait des familles cachées, ça craint un peu.
    Quoique 2 possibilités :
    1) la conjecture de Collatz est une aimable plaisanterie, une coïncidence tout au plus. Si un jour on trouve une faille, on aura éventé la forfanterie
    2) l'arbre de Collatz devient ne véritable base de l'arithmétique au même titre que les premiers : la démonstration de la conjecture serait une révolution. Il sera impossible de ne pas en tenir compte. Pourquoi cette structure existe ? Que peut-on en faire ? Et Dieu dans tout ça (humour) ?

    merci beaucoup pour tes explications très claires. 
  • Précision
    Ce code "idiot" pour montrer que l'on peut mettre tous les entiers dans un arbre en se basant sur la décomposition en facteurs premiers
    p1 tous les 2^n (premier membre 2)
    p2 tous les 3^n (premier membre 3)
    p1&p2 tous les 2^n * 3^n (premier membre 6)
    p3 tous les 5^n (premier membre 5)
    p1&p3 tous les 2^n * 5^n (premier membre 10)
    p2&p3 tous les 3^n*5^n (premier membre 15)
    p1&p2&p3 tous les 2^n*3^n*5^n (premier membre 30)
    p4 tous les 7^n (premier membre 7)
    ...
    Ce code est un peu "sale" parce qu'on voit bien que les branches n'arrivent pas dans l'ordre du premier membre. Mais il fait structurellement le job de mettre tous les entiers >1 dans cet arbre. Cet exemple montre qu'une arborescence logique basée sur des règles peut donner le même résultat qu'une arborescence basée sur l'arithmétique. Que l'ordre soit "propre" ou "sale", la collection visée est réunie.

    L'arbre de Collatz est un "ordre sale" parce que c'est évidemment un ordre très complexe par rapport à n+1. (mais un ordre tout de même).

    Si je faisais un autre code "idiot" pour générer une arborescence logique basée sur des règles pour l'arbre de Collatz, je me contenterai de générer toutes les combinaisons de lignées en me moquant de celles qui sont vides. Mon arbre serait encombré d'une myriade de lignées inutiles. Ultra moche et ultra lourd, cet arbre contiendrait tout de même la bonne structure.

    Si une lignée générée au hasard a une probabilité de correspondre à un entier, et si on répète le test assez de fois (do until ...) on va trouver un entier et donc une lignée valide.
    Quelqu'un d'aussi peu rigoureux que moi dirait alors : quel est l'impair auquel aucune lignée ne correspond s'il y a en théorie une infinité de combinaisons ?
  • PMF, ton arbre contient tous les premiers car il existe un théorème (qui se démontré facilement) appelé théorème fondamental de l'arithmétique.
    Cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_fondamental_de_l'arithmétique

    Pour l'arbre de Collatz, pour le moment aucun théorème ne vient appuyer le fait qu'il contient tous les entiers.
    Si la conjecture de Syracuse est vraie (et de mon côté je la pense vraie), alors ton arbre contiendra tous les entiers, et réciproquement.
    Mais pour le moment, personne sur terre n'a démontré que la conjecture est vraie, ou que ton arbre contient tous les entiers ! Donc tu ne peux pas l'affirmer, même si tu en as l'intime conviction.

    Quote ="Je dis que l'arbre de Collatz a l'ambition de contenir tous les entiers."
    Ce qui t'es reproché est ce genre de phrases : en maths, on se fiche des intimes convictions, on veut des preuves, des démonstrations, des contre-exemples ..!
    A chaque matière (maths, droit, philo, physique, compta...) ses règles, sa rigueur et ses codes. Tu es sur un forum de mathématiques ici, tu dois en accepter les codes, les règles, la rigueur.
    Il en est ainsi, malheureusement pour toi.
  • Modifié (19 Jan)
    Bonjour Zgrb.
    Finalement, toi aussi tu en arrives à cela !
    Et ça lui a été dit de nombreuses fois depuis qu'il vient. Il appelle ça du refus de lire ses "idées".
    Bon courage !
  • J'ai aussi sursauté quand j'ai vu cette histoire  : 'l'ambition de contenir tous les entiers'

    Quand on commence à dire qu'un arbre a une ambition, on ne fait pas des maths, mais des incantations. On est dans l'ésotérisme.
    Et d'ailleurs, souvent, autour de toutes ces conjectures non résolues, ceux qui croient apporter des solutions se révèlent être proches de l'ésotérisme.

  • @zgrb
    Encore merci pour tes réponses

    Je reviens donc sur "l'ambition" de l'arbre très contestée. J'aurais dû dire que "l'arbre tend à" ou "est conçu pour" , plus math et moins littéraire. Sorry.

    Dans nos derniers échanges, et au rappel de Lourran d'être précis dans les définitions.

    D'abord parlons de la définition de l'arbre.
    Pour avoir ce statut, il ne suffit pas qu'une structure quelconque propose d'intégrer une collection particulière
    Par exemple si je prends 1 comme souche et que je trace n-1 d'un coté et n+1 de l'autre, j'englobe certes tous les entiers mais je n'ai pas un arbre. J'ai deux lignes réunies par un point central.
    Si j'utilise l'algorithme simplifié de Collatz (sans la multiplication par 3) ou le fait de grouper les entiers selon les premiers et leurs combinaisons (voir message précédent), ce n'est pas un arbre non plus car ces structures posent certes des branches sur un tronc mais cela s'arrête là.

    Donc un arbre est un système qui doit proposer une ramification et se développer ainsi depuis une souche. Donc le principe est qu'il y ait des bifurcations, qu'il y ait toujours au fur et à mesure de la croissance de l'arbre des bifurcations. Si l'arbre a une croissance infinie, il y a une infinité de bifurcations.

    A ce titre, l'arbre de Collatz est donc bien un arbre au sens fort de cette définition.

    Mais cette structure doit aussi avoir un objet. Si elle est de croissance infinie, elle peut porter une collection elle-même infinie : un ensemble donc.

    L'arbre de Collatz répond donc à la définition de la structure d'un arbre et de l'intégration d'un ensemble. Evidemment on ne peut pas prouver que cet arbre contienne les entiers naturels. Mais si on le suppose, on suppose donc que ces entiers auraient la structure d'une arborescence. D'où mon intérêt à "modéliser" cette structure, cad faire un code qui génère cette arborescence sans recours à l'algorithme.
  • Règles logiques de l'arbre : les deux actions "avancer" et "bifurquer"

    Avancer. La croissance se fait de point en point et se mesure en unité d'orbite. Par défaut on avance tout droit d'une unité à la fois.
    Bifurquer. Il faut deux unités d'orbite pour trouver une bifurcation. Le prédécesseur d'une bifurcation est toujours un segment, jamais une autre bifurcation.
    Donc la suite la commune d'action est avancer-bifurquer-avancer-bifurquer.... Et ce sur depuis tous les points créés. La ramification est donc infinie.
    Mais cette ramification est modérée du fait que certains segments se répètent à l'infini sans bifurcation. L'arrivée de ce type de segments dans la ramification est cyclique.

    La description ci-dessus est purement structurelle. Si on règle les bons paramètres de cycles, l'arbre peut se construire à l'identique de celui de Collatz. 

    Quand on construit l'arbre avec les entiers, les règles ci-dessus sont remplacées par l'action de l'algorithme tout en donnant la même structure. L'action de l'algorithme est équivalent à des règles de structure.
  • Tu dis : 
    Phrase n°1 :   L'arbre a l'ambition de contenir tous les entiers.
    Puis tu rectifies :   L'arbre est conçu pour contenir tous les entiers.

    C'est pire.

    La première phrase , c'était une incantation, on pouvait la rejeter parce qu'elle n'était pas du tout dans le registre mathématique.
    Maintenant, on est quasiment dans le registre mathématique. Et la fausseté devient manifeste.

    L'arbre est conçu pour contenir tous les entiers qui convergent vers 1 via l'algorithme de Collatz.

    Et éventuellement, tu peux ajouter une incantation, tu peux dire que tu espères que tous les entiers seront un jour dans cet arbre.
    Mais c'est une incantation, une prière, un voeu.
    Donc pas un fait, et encore moins des maths.
  • @lourran

    L'idée que je cherche à formaliser est un chouia plus subtile.

    Au stade où on en est, on note que tous les entiers positifs testés ont toujours convergés vers 1 via l'algorithme de Collatz. Mais cela n'enlève pas la possibilité que ça ne soit pas le cas un jour.

    Puis on constate qu'en inversant l'algorithme, on peut construire depuis 1 un arbre et facilement connaitre les éléments de chaque orbite. J'ai fourni un script pour le faire à ma façon, mais il y a plein de possibilités d'y arriver. Mais le souci est que le nombre d'orbites est infini. De plus la population d'une orbite devient vite très grande (on passe le milliard après 83 orbites). Là encore le calcul si grand soit-il ne prouve pas que la collection de l'arbre n'oublie pas ici ou là un entier ou plus (avec l'hypothèse des cycles non triviaux).

    Tout le monde est d'accord là dessus. Moi comme les autres.

    Sans faire preuve de lyrisme ni incanter quoi que ce soit, cet arbre est tout de même un phénomène dans la mesure où il n'a jamais failli à un test. Physiquement, dans la réalité où nous vivons, tout entier testé (je ne dis pas tout entier en général) trouve sa place dans l'arbre et il peut être assimilé, traduit en un codage de lignée qui lui est propre. Ces codages sont infiniment déclinables sans limite de longueur, ni de rang générationnel. Même si très peu au fond seront utilisables, il est crédible de dire qu'au bout de n itérations de codes de lignée générés aléatoirement, un entier sera toujours trouvé en déduisant sa valeur du codage. Tirer au hasard 117071413 pour vérifier qu'il revient à 1, ou générer au hasard 1.3.4.2.4.4.3. revient au même.

    Avec du travail, il est peut-être possible de remplacer l'action de l'algorithme par des règles de structure, cad trouver une méthode qui ne donne que des codes de lignée fiables sans recours à l'algorithme.

    C'est là que, très modestement, se situe ma démarche : si on peut faire cet arbre uniquement avec des règles de structure, ce serait une autre façon d'approcher cette conjecture. Parce c'est ces règles qui seraient à étudier et cela peut être fécond.
  • « Au stade où on en est, on note que tous les entiers positifs testés ont toujours convergés vers 1 via l'algorithme de Collatz. Mais cela n'enlève pas la possibilité que ça ne soit pas le cas un jour. »

    Merci pour cette avancée. 
  • PMFPMF
    Modifié (19 Jan)
    @dom c'est de la mauvaise foi là. Je fais sciemment ce recap pour amener mon raisonnement
  • DomDom
    Modifié (19 Jan)
    On cherche à savoir si l’application $Col$ de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$, qui, à un entier non nul, associe le minimum des termes de sa suite de Collatz a pour image $\{1\}$. 
    Ton histoire d’arbre est la démarche que tout le monde a essayé, à savoir, partir de $1$ et chercher d’où il vient (« on remonte l’algorithme »). 
    Le but est de démontrer que l’on peut obtenir n’importe quel entier non nul. 
    Bon, et alors ?
    Est-ce de la mauvaise foi de dire que c’est juste le problème posé ? Sans aucune avancée ?
  • @PMF: Tirer au hasard 117071413 pour vérifier qu'il revient à 1, ou générer au hasard 1.3.4.2.4.4.3. revient au même.

    Pour calculer une suite de Collatz tu fais $n_{i+1}=(3\,n_i+1)/2^u$ aussi longtemps que $n_i \ne 1$. Si $n_0=117071413$, les valeurs successives de $u$ sont 5, 7, 7, 3, 7, 5, 4. Y a-t-il un lien entre cette séquence d'exposants et le code 1.3.4.2.4.4.3 ?

  • [suite]

    En fait il faut inverser la séquence d'exposants puisque ton code part de 1, ce qui donne 4, 5, 7, 3, 7, 7, 5 pour les exposants, et 1.3.4.2.4.4.3 pour ton code. Les 7 de la séquence occupent les mêmes positions que les 4 du code ; idem avec 5 d'un côté, 3 de l'autre. Il y a donc bien un lien entre eux.

  • @Wilfrid
    je l'ai précisé dans mes messages précédents mais :
    un code de lignée comme 1.3.4.2.4.4.3 est un itinéraire dans l'arbre de 1 vers l'entier qu'il représente

    de gauche à droite donc pour ce code :
    1 : le premier impair issu d'une puissance de 2  (depuis 16 c'est 5)
    3 : le troisième descendant de 5 (donc après 3 et 13, c'est 53)
    4 : le quatrième descendant de 53 (donc 2261)
    2 : le deuxième descendant de 2261 (donc 6029)
    4 : le quatrième descendant de 6029 (donc 257237)
    4 : le quatrième descendant de 257237 (donc 10975445)
    3 : le troisième descendant de 10975445 : nous voilà arrivé à destination (117071413)

    Cette écriture est destinée à une personne devant un arbre suffisamment grand et qui n'aurait pas de calculette. L'arbre peut contenir des millions d'entiers qu'il est impossible de repérer individuellement. Si cette personne suit les indications du code de lignée, elle va arriver depuis 1 à cet entier sans rien calculer. Un "google maps" de l'arbre de Collatz en quelque sorte.

    Je l'appelle "code de lignée" parce que cette écriture est utilisée depuis très longtemps par la généalogie.

    Si tu n'as pas tout lu sur ce fil, l'idée générale est de construire un arbre en n'utilisant pas du tout l'algorithme. A partir d'un jeu de règles, on ne travaille que sur les codes de lignées et c'est eux qui vont construire l'arborescence.

    Le tableau ci-dessous est construit comme ça. Mais ce n'est qu'un tout petit bout de l'arbre bien sur.
    Il représente les descendants de 1.2. en colonne G puis chaque descendance de ceux-ci dans les autres colonnes.
    C'est fait sans algo en ne jouant que sur des cycles.

  • DomDom
    Modifié (19 Jan)
    « Si cette personne suit les indications du code de lignée, elle va arriver depuis 1 à cet entier sans rien calculer. »
    À coup sûr ou bien seulement si la conjecture est vraie ?
  • Modifié (19 Jan)

    1 : le premier impair issu d'une puissance de 2  (depuis 16 c'est 5)

    On part de 1 et on parcourt la séquence d'exposants 4, 5, 7, 3, 7, 7, 5 :

    $1 \times 2^4=16\;,\;(16-1)/3=5 \to 5, 1$

    $5 \times 2^5=160\;,\;(160-1)/3=53 \to 53, 5, 1$

    $53 \times 2^7=6784\;,\;(6784-1)/3=2261 \to 2261, 53, 5, 1$

    ...

    $10975445\times 2^5=351214240\;,\;(351214240-1)/3=117071413 \to 117071413, 10975445, 6029, 2261, 53, 5, 1$

    Pourrais-tu expliquer – sans faire de longues phrases – comment tu procèdes de ton côté ?

  • @Dom
    dans le cadre d'un arbre d'un nombre fini d'orbites, ça marche toujours
    Analogie : un réseau routier et le gps pour t'y guider. Il faut le carte gps soit à jour par rapport au réseau. Si une route est faite sans que le gps le sache, c'est mort.
    L'idée est de considérer l'arbre comme une structure et d'en faire une carte
  • Inutile de tenter des vulgarisations. 
    Tu parles maths et cela suffit. 

    Ton « arbre a-t-il un nombre fini d’orbites » ?

  • Si tu veux faire des analogies, on peut.
    Tu es en 1022. Tu as 1000 ans de retard.

    Tu pars de Rome et tu suis les routes existantes , tu arrives à Venise, Marseille , Paris, Madrid, Berlin etc etc
    Et tu nous dis que toutes les villes du monde sont reliés à Rome par une route terrestre.
    Toutes. Et quand tu continues ton parcours, tu arrives à Stockholm... pareil, ça confirme ta théorie, toutes les routes sont reliées à Rome par la route.

    Dans 470 ans, Christophe Colomb va partir en bateau, vers l'ouest. En se disant que puisque toutes les villes sont reliées à Rome par des routes terrestres, dès qu'on rencontrera une terre, ce sera l'Inde. Forcément.

    Tu veux faire une carte, fais une carte, une carte des pays reliés à Rome, où il manquera l'Amérique, l'Australie, l'Océanie...

    Mais comme tu auras tout fait pour ne pas voir ces continents là, tu vas continuer de dire qu'ils n'existent pas.

    Tant que tu parcours des branches de ton arbre, en long, en large et en travers, tu vas trouver des trucs qui sont dans ton arbre.
    Tant que tu ne voudras pas descendre de ton arbre, et monter sur un bateau par exemple, tu ne pourras pas savoir si il y a autre chose, ailleurs. 
  • @Wilfrid
    Je procède en balisant le chemin.
    Par exemple 53 s'écrit 1.3.
    D'abord on a 
    53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
    On cherche toujours la position de 16 ici c'est la 7ème après 53
    donc on écrit en inversant
    16 5 10 20 40 80 160 53
    5 est arrivé juste après 16 sans étape paire, il vaut donc 1
    53 est arrivé après 5 étapes paires ce qui vaut 5/2 =2.5 arrondi à 3 (arrondi.sup)
    donc la ligne étant finie : 53 c'est 1.3.

    Bon ça pour traduire de manière systématique un entier en code de lignée. C'est la base de départ
    Après il est possible d'écrire les codes directement si on a les bons cycles.

    N'oublies pas que je cherche surtout à localiser l'entier dans l'arbre

    quelques exemples de codes :
    5----->1
    21----->2
    3----->1.1
    85----->3
    13----->1.2
    341----->4
    53----->1.3
    113----->3.1
    17----->1.2.1
    1365----->5
    213----->1.4
    227----->4.1
    35----->1.3.1
    453----->3.2
    69----->1.2.2
    75----->3.1.1
    11----->1.2.1.1
    5461----->6
    853----->1.5
    909----->4.2
    141----->1.3.2
    151----->4.1.1
    23----->1.3.1.1
    1813----->3.3
    277----->1.2.3
    301----->3.1.2
    45----->1.2.1.2
    7----->1.2.1.1.1



  • Je me doutais bien que tu te basais sur les exposants de 2 (ou nombre de divisions par 2, ou termes pairs), parce qu'il est impossible de procéder autrement pour "remonter" à partir de 1. Tu cherches 16 mais il pourrait ne pas exister. A la place tu pourrais avoir 256, 1024, 16384, ... Comment fais-tu pour les distinguer ?

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