Exercice sur un groupe fini

anymal34

Bonjour,

Je bloque sur un exercice donné en pièce jointe: pour la question b), j'arrive bien à prouver:

$\ \alpha (d) \ge \varphi (d) $ mais je n'arrive pas à montrer l'autre inégalité avec l'hypothèse D.

Merci pour votre aide

raoul.S

$\varphi(d)$ est le nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre $d$ (tous les groupes cycliques d'ordre $d$ étant isomorphes à $\Z/d\Z$). Pour obtenir $\alpha(d)=\varphi(d)$ il suffit donc de montrer que si $\alpha(d)\neq 0$ alors il existe un seul sous-groupe de $G$ d'ordre $d$, que ce sous-groupe est cyclique et que $\alpha(d)$ est le nombre de générateurs de ce sous-groupe.

anymal34

Je comprend bien pourquoi il existe un UNIQUE sous-groupe d'ordre d dans un groupe CYCLIQUE mais je ne vois pas pourquoi ce sous-groupe serait unique dans un groupe qui n'est pas supposé être cyclique. Je peux d'ailleurs trouver un contre-exemple, dans le groupe de Klein, il existe 2 sous-groupes d'ordre 2.

Je suis d'accord pour dire que si $\ \alpha (d) \ne 0 $ alors il existe un sous-groupe d'ordre d cyclique et qu'il y a $\ \phi (d) $ générateurs. Mais l'unicité je ne vois pas si G n'est pas supposé cyclique. Pour moi c'est pour l'unicité qu'il faut utiliser l'hypothèse D.

raoul.S

C'est bien l'hypothèse D qui permet d'obtenir l'unicité. Si $\alpha(d)\neq 0$ alors il existe au moins un élément d'ordre $d$, notons-le $g$. Donc le sous-groupe cyclique $<g>$ a $d$ éléments et si $g'\in <g>$ alors il est évident que $g'^d=e$. Par l'hypothèse D on en déduit que les éléments $x$ vérifiant $x^d=e$ sont exactement les éléments du sous-groupe $<g>$.

Il ne peut donc pas y avoir un autre sous-groupe d'ordre $d$ car autrement ses éléments vérifieraient aussi l'équation $x^d=e$ ce qui contredirait l'hypothèse D.

anymal34

Merci de m'avoir débloqué ! Je cherchais d'autres éléments d'ordre d ... on a déjà le maximum d'éléments satisfaisant D dans notre premier groupe. Merci bien Raoul :-)