Voici ma proposition de démonstration qui semble suivre le même principe que celle de @LOU16.
L'idée est d'harmoniser les bornes par la relation de Chasles. On choisit $0$ et $1$ pour couvrir le domaine de la fonction $f$ quitte à effectuer un changement de variables linéaire : A gauche : $\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x) dx - \int_0^{1/2} f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx - 2\int_0^{1/2} f(x) dx= \int_0^1 f(x) dx- \int_0^1 f(x/2) dx.$ A droite : $\displaystyle 6 \int_0^{1/2} x f(x) dx = {3\over 2} \int_0^1 x f(x/2) dx.$
On voit du $\displaystyle f(x/2)$ que l'on rassemble à droite : l'inégalité devient $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx \geq \int_0^1 (1+{3\over 2} x) f(x/2) dx.$
On essaie de majorer alors $f(x/2)$ par la convexité de la fonction $f$ : pour tout $x$ dans $[0,1]$, $\displaystyle x f(1/2) + (1-x) f(0) \geq f(x/2)$ puisque $\displaystyle f(0) = 0.$
L'inégalité devient (condition suffisante) $\displaystyle {1\over 1-0}\int_0^1 f(x) dx \geq f({0+1 \over 2}) = f(1/2)$ qui est vraie par convexité de la fonction $f.$
On a donc utilisé deux fois la convexité de la fonction $f$ : pour majorer $f(x/2)$ avec $x$ dans $[0,1]$, et pour minorer la moyenne de la fonction $f$ sur $[0,1].$
Réponses
Voici ma proposition de démonstration qui semble suivre le même principe que celle de @LOU16.
L'idée est d'harmoniser les bornes par la relation de Chasles. On choisit $0$ et $1$ pour couvrir le domaine de la fonction $f$ quitte à effectuer un changement de variables linéaire :
A gauche : $\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x) dx - \int_0^{1/2} f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx - 2\int_0^{1/2} f(x) dx= \int_0^1 f(x) dx- \int_0^1 f(x/2) dx.$
A droite : $\displaystyle 6 \int_0^{1/2} x f(x) dx = {3\over 2} \int_0^1 x f(x/2) dx.$
On voit du $\displaystyle f(x/2)$ que l'on rassemble à droite : l'inégalité devient $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx \geq \int_0^1 (1+{3\over 2} x) f(x/2) dx.$
On essaie de majorer alors $f(x/2)$ par la convexité de la fonction $f$ : pour tout $x$ dans $[0,1]$, $\displaystyle x f(1/2) + (1-x) f(0) \geq f(x/2)$ puisque $\displaystyle f(0) = 0.$
On reporte : $\displaystyle \int_0^1 (1+{3\over 2} x) f(x/2) dx \leq f(1/2) \int_0^1 (1+{3\over 2} x) x dx= f(1/2) ({x^2 \over 2} + {x^3 \over 2})|_0^1 = f(1/2).$
L'inégalité devient (condition suffisante) $\displaystyle {1\over 1-0}\int_0^1 f(x) dx \geq f({0+1 \over 2}) = f(1/2)$ qui est vraie par convexité de la fonction $f.$
On a donc utilisé deux fois la convexité de la fonction $f$ : pour majorer $f(x/2)$ avec $x$ dans $[0,1]$, et pour minorer la moyenne de la fonction $f$ sur $[0,1].$