Valeur propre et polynôme caractéristique
Bonsoir,
a) Soit $x \in \R^3$. On a $x=(f^2(x)+x) + (- f^2(x))$ avec $f^2(x)+x \in \ker f$ et $-f^2(x) \in Im f$ donc $E= \ker f + Im f$
Soit $y \in \ker f \cap Im f$. Alors $f(y)=0$. Il existe $x \in E$ tel que $y=f(x)$. Donc $f^2(x)=0$ d'où $f^3 (x)=f(0)=0$ et $-f(x)=0$ soit $f(x)=0$
Finalement $y=0$
Donc $\ker f \cap Im f= \{0 \}$
On a montré $\boxed{\R^3 = \ker f \oplus Im f}$
b) Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. Soit $x$ un vecteur propre associé. On a $f(x)= \lambda x$
Or $f^3 (x)+ f(x)=0$ donc $\lambda^3 x + \lambda x=0$
D'où $( \lambda^3 + \lambda) x=0$ comme $x$ est non nul par définition $\boxed{\lambda^3+ \lambda =0}$
On a $\lambda^3+ \lambda = \lambda ( \lambda^2+1)$. La seule valeur propre de $f$ possible dans $\R$ est $\boxed{\lambda=0}$
Comme $\dim \R^3 =3$ avec $3$ impair, on sait que $\chi_f$ possède au moins une racine. Donc $\boxed {Sp (f)= \{0 \} }$
Je n'ai pas trouvé la question $c$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$A$ et $B$ sont semblables sur $\C$ à $\mathrm{Diag}(0,i,-i)$ donc elles sont semblables sur $\R$.
J'aimerais utiliser la première question mais je ne connais pas $\dim \ker f$ simplement que $\dim \ker f \geq 1$ car $0$ est valeur propre.
À mon avis il faut utiliser une base adaptée à la décomposition.
On doit avoir $f(e_1)=0$, $f(e_2)= -e_3$ et $f(e_3)=e_2$
J'aimerais croire que tu en as retiré quelque chose 🤔
Dans $\C$, $sp(f)= \{ 0,i,-i \}$ ainsi comme $0$ est de multiplicité $1$, on a $\boxed{\dim \ker f =1}$
Notons $(e_1)$ une base de $\ker(f)$. D'après le théorème du rang, $\dim Im(f)= 3-1=2$.
Comme $f$ n'est pas nul, il existe $x \i n \R^3$ tel que $f(x) \ne 0$. Montrons que $(f^2(x),f(x))$ est une base de $Im f$.
Cette famille est de cardinal $2$, il suffit de montrer qu'elle est libre. Soient $(a,b) \in \R^2$ avec $a f^2(x)+ b f(x)=0$ donc $af^3(x)+bf^2(x)=0$ donc $-a f(x) +bf^2(x)=0$
Je bloque ici.
On sait que dans $\C$ $f$ est diagonalisable car il possède 3 valeurs propres distinctes et elle est semblable à $\mathrm{diag}(0,i,-i)$ mais je ne comprends pas comment faire le lien avec la matrice $A$.
Relis mon premier message (que j'ai un peu modifié pour coller aux notations de ton exo) en te rappelant que deux matrices réelles semblables sur $\C$ sont semblables sur $\R$.
Bref, la dernière question de cet exo se résout en 3,4 lignes sans utiliser les questions précédentes.
Perso, j'aurais mis la matrice-compagnon de $X^3+X$ à la place de $A$.
Gai Requin le polynôme caractéristique de $A$ vaut $X^3+X$ donc $A$ et a les mêmes valeurs propres que la matrice de $f$ donc le même polynôme caractéristique.
Et donc $a f^2(x)=0$ donc $f^2(x)=0$, d'où $(f \circ id)(x) =f(x) =0$ ce qui est absurde car on a pris $f(x) \ne 0$.