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Convergence d'une intégrale

L2ML2M
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonsoir
Pourquoi la fonction $\ t\mapsto t^{\sigma-1} \sin t\ $ est intégrable, pour $|\sigma|<1$, au voisinage de $+\infty$ ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (January 2022)
    Bonjour.
    Ta question est différente de ton titre. La fonction n'est pas intégrable au sens de Lebesgue, mais l'intégrale de $\pi$ à +oo de la fonction converge.
    Preuve de la convergence : l'intégrale de $\pi$ à $A$ est décomposable en une somme d'intégrales sur des intervalles de longueur pi, plus un petit complément. La somme est la somme partielle d'une série semi convergente (critère des séries alternées) et le complément tend vers 0.
    Je te laisse rédiger.
    Cordialement.
  • Modifié (January 2022)
    Bonsoir
    J'ai un doute, par exemple pour $\sigma = 0$.
    Qu'entends-tu exactement par " intégrable au voisinage de $+\infty$ " ?
    Paco.
  • L2ML2M
    Modifié (January 2022)

    Paco_del_Rey. En fait j'essaye de comprendre pourquoi l'intégrale $\int_0^{+\infty} t^{\sigma-1}\sin(t) dt$ converge pour $|\sigma|<1$.
    Au voisinage de $0$ c'est simple à vérifier, je suis bloqué au voisinage de $+\infty$.
    gerard0. Ok.
  • Modifié (January 2022)
    gerard0 a tout dit, l’intégrale $\int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin x}{x^a} dx $ converge pour $a>0$.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Bonsoir @L2M,
    Une IPP te permet de passer de l'exposant $\sigma-1$ à $\sigma-2$.
  • L2ML2M
    Modifié (January 2022)
    $\int_1^{+\infty} t^{\sigma-1}\sin(t) dt = \left[ -t^{\sigma-1}\cos(t) \right]_1^{+\infty} + (\sigma-1)\int_{1}^{+\infty} t^{\sigma-2}\cos(t) dt$
    Le premier terme à droite, puisque $\sigma-1<0$, tend vers $\cos(1)$ et le second converge, car $|t^{\sigma-2}\cos(t)| \leq t^{\sigma-2}\in L^1\left( [1;+\infty[\right)$.
    Merci.
  • Bonjour

    l'intégrale de L2M est telle que $\int_0^{+\infty}t^{a-1}sint.dt=sin(\frac{\pi}{2}a).\Gamma(a)$

    d'après les applications intégrales de la fonction eulérienne Gamma

    lorsque a tend vers 0 le résultat de l'intégration est équivalent à

    $\frac{\pi}{2}a.\Gamma(a)$ soit $\frac{\pi}{2}$ (on retrouve l'intégrale de Dirichlet)

    l'intégrale de L2M converge pour $a > - 1$

    Cordialement
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