Équation polynôme
Bonsoir,
Je cherche à résoudre l'équation $P(X)=P(1-X)$ dans $\R[X]$ en raisonnant sur les coefficients.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $P(1-X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (1-X)^k$
J'ai eu l'idée de dériver $P$ et d'évaluer en $1$.
$P'(X)= \displaystyle\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$ donc $P'(1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$
$P'(1-X)= - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k k (1-X)^{k-1}$ donc $P'(1-1)=a_1$
Donc $\boxed{a_2 + \cdots + a_n=0}$
$P''(X)=\displaystyle\sum_{k=2}^n k (k-1) a_k X^{k-2}$ donc $P''(1)=\displaystyle\sum_{k=2}^n k (k-1) a_k$
$P''(1-X)= \displaystyle\sum_{k=2}^n a_k k(k-1) (1-X)^{k-2}$ donc $P''(1-1)=2 a_2$
Ainsi $\boxed{6 a_3 + 12 a_4 + \cdots + n(n-1) a_n =0}$
Cette méthode est-elle efficace ?
Je cherche à résoudre l'équation $P(X)=P(1-X)$ dans $\R[X]$ en raisonnant sur les coefficients.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $P(1-X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (1-X)^k$
J'ai eu l'idée de dériver $P$ et d'évaluer en $1$.
$P'(X)= \displaystyle\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$ donc $P'(1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$
$P'(1-X)= - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k k (1-X)^{k-1}$ donc $P'(1-1)=a_1$
Donc $\boxed{a_2 + \cdots + a_n=0}$
$P''(X)=\displaystyle\sum_{k=2}^n k (k-1) a_k X^{k-2}$ donc $P''(1)=\displaystyle\sum_{k=2}^n k (k-1) a_k$
$P''(1-X)= \displaystyle\sum_{k=2}^n a_k k(k-1) (1-X)^{k-2}$ donc $P''(1-1)=2 a_2$
Ainsi $\boxed{6 a_3 + 12 a_4 + \cdots + n(n-1) a_n =0}$
Cette méthode est-elle efficace ?
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Réponses
Application ce ton exercice :
Determiner tous les polynômes T de R[X] tels que $T(\cos^2(x)) = T(\sin^2(x))$ pour x réel
Ci-dessous les sommes sont finies.
1) Montrer que si $Q(X)=Q(-X)$ alors $Q$ est de la forme $Q(X)=\sum \lambda_k X^{2k}$
2) Montrer que si $P(X)=P(1-X)$ alors $P(1/2+X)=P(1/2-X)$
3) Soit $P$ un polynôme vérifiant $P(X)=P(1-X)$, on pose $Q(X):=P(1/2+X)$. Montrer que $Q(X)=Q(-X)$ puis en utilisant 1) en déduire que $P$ est de la forme $P(X)=\sum \lambda_k (X-1/2)^{2k}$.
Bd2017 je méfie de tes remarques. Ce qui est évident pour toi ne l'est pas pour tout le monde.
La dernière question de centrale sur laquelle je bloquais tu disais que c'était facile alors que le rapport du jury a dit que c'était la question la plus difficile du sujet.
@bd2017 en translatant elle devient paire je suis d'accord mais j'ai plus de mal à trouver l'expression explicite du polynôme. L'aide de Raoul.S m'a permis de résoudre l'exercice.
Je ne vise pas l'agreg, je vise un meilleur niveau pour moi-même et me cultiver, pas m'encrouter à enseigner les fraction de collège pendant 10 ans et régresser intellectuellement.
@raoul.S
Merci beaucoup, j'ai résolu l'exercice
1) Soit $Q \in \R[X]$ alors il existe $(a_0, \cdots, a_n) \in \R^n$ tels que $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$
Supposons $Q(X)=Q(-X)$.
Alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k = \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k X^k$
Par identification des coefficients, si $k$ est impaire alors $a_{2p+1} = - a_{2p+1}$ donc $a_{2p+1}=0$
Finalement, les termes impairs sont nuls et $\boxed{Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}}$
2) Supposons $P(X)=P(1-X)$
Alors $P(X+\dfrac{1}{2}) = P(1- (X+\dfrac{1}{2}))=P(\dfrac{1}{2} - X)$
On a montré que $\boxed{P(X+\dfrac{1}{2}) =P(\dfrac{1}{2} - X)}$
3) Supposons que $P(X)=P(1-X)$. Posons $Q(X)=P(\dfrac{1}{2}+X)$.
On a $Q(-X)=P(\dfrac{1}{2}-X)=P(\dfrac{1}{2}+X) = Q(X)$
D'après 1), $Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}$ où les $(a_k)$ sont des réels.
Mais $Q(X)=P(\dfrac{1}{2}+X)$ donc $P(\dfrac{1}{2}+X) = \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}$
Or, $P(X)=P( \dfrac{1}{2}+X - \dfrac{1}{2})=Q(X- \dfrac{1}{2}) $ donc : $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} (X-\dfrac{1}{2})^{2k}}$
Tu ne vois pas que tu vas arriver à une fonction impaire, quand tu vas appliquer la même technique ? Et tu n'as même pas fait les 2 minutes de calculs, qui t'auraient montré que ça marchait ?
Verdurin oui mais ta méthode est un peu compliquée. Je préfère celle donnée par Raoul.S.
Supposons $Q(-X)=-Q(X)$.
Alors $Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} a_{2k+1} X^{2k+1}$
Supposons $P(X)= - P(1-X)$
Alors $P(X +1/2)=- P(1 - (X+1/2))=- P(1/2 -X)$
Posons $Q(X)=P(X+ 1/2)$
On a $Q(-X)= - Q(X)$ et donc $P(X)=Q(X-1/2)$
Finalement $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} a_{2k+1} (X-\dfrac{1}{2})^{2k+1}}$
On est bien d'accord que les calculs ne présentent aucune difficulté. Poster ces calculs n'a que peu d'intérêt ... Et pourtant tu réussis à écrire ce genre de bêtises en postant tes résultats.
On a un énoncé supposé qui demande d'étudier P, vérifiant $P(X) -P(1-X)$
Et la réponse commence par : Supposons que $Q$ vérifie ...
D'où vient $Q$ ???
Et finalement, un peu plus bas, on nous dit que le $Q$ en question, c'est : Posons $Q(X) = $...
Chez moi, on dit : Ce qui vaut la peine d'être fait vaut la peine d'être bien fait.
Ici, ça ne valait pas la peine d'être fait, et en plus, c'est mal fait.
@raoul.S ok merci.