Séries de fonctions
Bonjour,
je suis en train de chercher cet exercice .
Soit $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} .$ Pour $n \in \mathbf{N}$, soit $u_{n}: x \in \mathbf{R} \mapsto \dfrac{(-1)^{n} f(x)}{\sqrt{1+n^{2} f^{2}(x)}} .$ Soit $S=\sum_{n\geq0} u_{n} .$
je suis en train de chercher cet exercice .
Soit $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} .$ Pour $n \in \mathbf{N}$, soit $u_{n}: x \in \mathbf{R} \mapsto \dfrac{(-1)^{n} f(x)}{\sqrt{1+n^{2} f^{2}(x)}} .$ Soit $S=\sum_{n\geq0} u_{n} .$
a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.
b) La convergence est-elle uniforme sur $D\ ?$
c) On suppose que $f$ est continue. Montrer que $S$ est continue. Étudier la réciproque.
Les questions a, b ne me posent pas de problème. Dans la question c, $f$ continue alors $S$ continue OK. Mais je ne vois pas comment traiter la réciproque : elle me semble fausse mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Merci pour votre aide,
bestM.
Les questions a, b ne me posent pas de problème. Dans la question c, $f$ continue alors $S$ continue OK. Mais je ne vois pas comment traiter la réciproque : elle me semble fausse mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Merci pour votre aide,
bestM.
Réponses
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Etudie une fonction auxiliaire et montre qu'elle est bijective et de bijection réciproque continue.
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Je veux bien, mais quelle fonction auxiliaire ?
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Celle qui permet de récupérer $f$ à partir de $S$...
-
OK, merci
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Bonjour!
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