Axiomatisation de R
Voici un extrait d'un livre sur l'axiomatisation de $\mathbb R$.
Ensuite, l'auteur donne des théorèmes justifiables donc par cette axiomatisation.
Ce que je ne comprends pas, c'est qu'il donne ce théorème :
N'est-ce pas un axiome ? Que cela soit le sens direct ou réciproque, c'est bien l'axiome 3) qui est appliqué.
Ensuite, l'auteur donne des théorèmes justifiables donc par cette axiomatisation.
Ce que je ne comprends pas, c'est qu'il donne ce théorème :
N'est-ce pas un axiome ? Que cela soit le sens direct ou réciproque, c'est bien l'axiome 3) qui est appliqué.
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Réponses
Je me suis fait la même réflexion.
Mais en supposant que x + z <= y + z, les nombres x + z et y + z sont considérés comme des réels, on pourrait les noter respectivement X et Y.
Puis on ajoute -z pour chaque membre (qu'on pourrait noter Z), du coup cela revient au premier sens.
Il est important de comprendre qu'être axiome ou théorème ne sont pas des propriétés intrinsèques de propositions, d'ailleurs, si on prend comme définition de "théorème" que c'est une proposition conséquence des axiomes, alors les axiomes sont des théorèmes (puisque $a\Rightarrow a$).
On peut faire une analogie avec les éléments d'une base d'un ev, qui sont bien des vecteurs.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Chaurien : ce n'est pas un livre dédié spécifiquement à l'axiomatisation de R, c'est le premier cours d'analyse MPSI de Jean-Marie Monier (5e édition).
Médiat_Suprème : pas trop compris mais convaincu par la réponse de gerard0.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Par exemple, on démontre en général le théorème de Heine (version L1) avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Dans la démo, ce dernier est un axiome, puisqu'on ne le démontre pas. On utilise d'ailleurs tout un tas d'axiomes qu'on ne justifie pas dans la démonstration.
Pour mener à bien une démonstration, on part de certaines propositions et on applique les règles de déduction pour obtenir des théorèmes. Il reste à savoir ce que sont les "certaines propositions", ce sont soit des axiomes, soit des théorèmes déjà démontrés, qu'il n'y a aucune raison de re-baptiser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On utilise plutôt le mot "définition" pour nommer une propriété (qui est souvent une proposition), donc qui peut être utilisée comme axiome pour une ou des théories.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Quand on étudie une structure, elle a un certain nombre de propriétés de base, qui vont servir de point de départ, c'est normal de les appeler axiomes.
Cordialement.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse