Sur la mesure de Lebesgue
Bonsoir, j'aimerais avoir des indications sur les dernières questions car je bloque.
Voici ce que j'ai fait pour le moment:
1- je trouve que $c=\frac{1}{ln(2)}$ . En effet $\mu$ est une mesure finie si $\mu([0,1[)=1$ cad ssi $\int_{0}^1 \frac{c}{1+x}dx=1$
2- Je trouve que $\int_{0}^1 x dx=c.\frac{ln(2)}{2}$
3-
On sait que $[0,1[$ est élément de $P$
Soient $a, a', b, b'$ des réels tels que $a \leq b$ et $a' \leq b'$
Si $max(a,a') \geq min(b,b')$ alors $]a,b[ \cap ]a',b'[=\varnothing$
Si $max(a,a') \leq min(b,b')$ alors $]a,b[ \cap ]a',b'[=]max(a,a'),min(b,b')[$ qui est élément de $P$ donc $P$ est un pi-système.
4-Faux, en effet , considérons la mesure $v$ définie par
$v(A)=\delta_{0}(A)+\mu(A)$ pour tout $A$ élément de $P$ , on a pour $A=[0,1[$ , $v(A)=2$ et $\mu(A)=1$ donc $v$ et $\mu$ ne sont pas identiques.
5-Oui car les théorème d'unicité de prolongement des mesures est vérifié.
6- La fonction partie entière est croissante donc mesurable
Voici ce que j'ai fait pour le moment:
1- je trouve que $c=\frac{1}{ln(2)}$ . En effet $\mu$ est une mesure finie si $\mu([0,1[)=1$ cad ssi $\int_{0}^1 \frac{c}{1+x}dx=1$
2- Je trouve que $\int_{0}^1 x dx=c.\frac{ln(2)}{2}$
3-
On sait que $[0,1[$ est élément de $P$
Soient $a, a', b, b'$ des réels tels que $a \leq b$ et $a' \leq b'$
Si $max(a,a') \geq min(b,b')$ alors $]a,b[ \cap ]a',b'[=\varnothing$
Si $max(a,a') \leq min(b,b')$ alors $]a,b[ \cap ]a',b'[=]max(a,a'),min(b,b')[$ qui est élément de $P$ donc $P$ est un pi-système.
4-Faux, en effet , considérons la mesure $v$ définie par
$v(A)=\delta_{0}(A)+\mu(A)$ pour tout $A$ élément de $P$ , on a pour $A=[0,1[$ , $v(A)=2$ et $\mu(A)=1$ donc $v$ et $\mu$ ne sont pas identiques.
5-Oui car les théorème d'unicité de prolongement des mesures est vérifié.
6- La fonction partie entière est croissante donc mesurable
7-Elle s'écrit comme somme de deux fonctions mesurables donc par opérations sur les fonctions mesurables, elle est aussi mesurable.
8-
Soit $y \in [0,1[$ et $x \in \mathbb{R}$
Posons $k_{0}$ la partie entière de $x$
Alors en posant $x=y+k_{0}$ , on a $F(x)=y$
Alors pour tout $y$ , il existe $x$ ($x=k_{0}$ +y) tel que $F(x)=y$ (je doute un peu)
9-
Soit $x \in \mathbb{R}$
$x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x>1$ et $a<F(x)<b$
Je trouve : $x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x>1$ et $ x \in ]a+k_{0},b+k_{0}[$ et comme $x>1$, on a bien $1<a+k_{0}$
alors on a $x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x \in ]a+k_{0},b+k_{0}[$.
Mais je ne sais pas comment généraliser ça car cela est vrai pour $x$ fixé à chaque fois.
Je suis aussi bloqué sur les autres questions.
8-
Soit $y \in [0,1[$ et $x \in \mathbb{R}$
Posons $k_{0}$ la partie entière de $x$
Alors en posant $x=y+k_{0}$ , on a $F(x)=y$
Alors pour tout $y$ , il existe $x$ ($x=k_{0}$ +y) tel que $F(x)=y$ (je doute un peu)
9-
Soit $x \in \mathbb{R}$
$x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x>1$ et $a<F(x)<b$
Je trouve : $x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x>1$ et $ x \in ]a+k_{0},b+k_{0}[$ et comme $x>1$, on a bien $1<a+k_{0}$
alors on a $x \in ]1,\infty[ \cap F^{-1}(]a,b[)$ ssi $x \in ]a+k_{0},b+k_{0}[$.
Mais je ne sais pas comment généraliser ça car cela est vrai pour $x$ fixé à chaque fois.
Je suis aussi bloqué sur les autres questions.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $y \in [0,1[$.
Analyse :
supposons qu’il existe $x$ réel tel que $F(x)=y$
alors on a $y=x-k_{0}$ alors on en déduit que $x=y+k_{0}$
posons $x=k_{0}+y$
on constate qu’on a bien $F(x)=y$.
9- je crois avoir compris, je l’écris tout à l’heure.