Morphismes de $\mathbb F_{p^n}$ dans $\mathbb F_p$

leonard_ksky

Titre initial : "Automorphismes de $\mathbb F_{p^n}$ dans $\mathbb F_p$"

[Un automorphisme suppose que le départ et l'arrivée sont identiques. AD]

Bonsoir,

si $f$ automorphisme de $\mathbb F_{p^n}$ dans $\mathbb F_p$ envoie 1 sur 1, cela ne détermine-t-il pas entièrement $f$ comme la projection sur $\mathbb F_p$ ?

Question sûrement idiote mais je bloque là dessus...

Merci d'avance.

gai requin

Si $n\geq2$, il n'existe pas de tel automorphisme pour une raison cardinale.

Poirot

De quelle projection sur $\mathbb F_p$ parles-tu ? Si tu parles de projection au sens des applications $\mathbb F_p$-linéaire, et où tu identifies $\mathbb F_p$ à une droite fixée de $\mathbb F_{p^n}$, il y en a en général plusieurs, mais aucune n'est un morphisme de corps dès qu'il y en a effectivement plusieurs (dès que $n \geq 2$ en fait).

leonard_ksky

gai requin a dit :

Si $n\geq2$, il n'existe pas de tel automorphisme pour une raison cardinale.

Effectivement, en y repensant je me sens bête... Ma question venait d'une confusion entre $\mathbb{F}_{p^n}$ et $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$, oups...

nicolas.patrois

Même réponse : tu vas avoir du mal à trouver un automorphisme de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ sur/dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sauf si $n=1$.

Maxtimax

Cela dit, tu as des morphismes (sans "auto") d'anneaux $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et en effet il n'y en a qu'un à savoir la projection canonique. Par ailleurs, un morphisme de groupes est la projection si et seulement s'il envoie $1$ sur $1$

leonard_ksky

Maxtimax a dit :

Cela dit, tu as des morphismes (sans "auto") d'anneaux $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et en effet il n'y en a qu'un à savoir la projection canonique. Par ailleurs, un morphisme de groupes est la projection si et seulement s'il envoie $1$ sur $1$

C'est à ça que je pensais, merci !