Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz

Boécien

Et moi aussi

gebrane

@Boécien Je n'ai pas encore lu la preuve de @Pomme de terre, je dois finir quelques trucs pour me concentrer .

Boécien

Je pense qua la démo du tubercule est bonne.  Sinon de mon côté en utilisant une forme généralisée du lemme de Kloosterman je crois que j'arrive à ceci avec des conditions taubériennes un tantinet différentes mais toujours avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$.

Soit $\lambda_{n}>0$ des nombres réels tels que $L(n)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n}\rightarrow\infty$ et que pour toute suite croissante $u_{n}>0$ telle que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n}}{n}>1$ on a $$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{L(u_{n})}{L(n)}>1.$$ Alors si  $\frac{\lambda_{n}}{L(n)}=O\left(n^{-1}\right)$ et $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ on a $$\frac{1}{L(n)}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k}\rightarrow\ell\Rightarrow a_{n}\rightarrow\ell.$$

gebrane

@Boécien Je viens de faire une première lecture, je n'ai pas compris tout ( quelques détails)  . Il est certain que @Pomme de terre  pratique  un sport de haut niveau en mathématiques comme @Georges Abitbol . Il me rappelle les portés disparus @Siméon @BobbyJoe @remarque ......

Je me sens tout-petit 

Boécien

Je préfère l'image d'être sur des épaules de géants

gebrane

@Boécien   C'est parce que l’hypothèse réfléchie et sa démonstration m'ont  écrasés littéralement. 

Je te vois d'un bon œil sur les épaules des géants, un jour tu  sera un. je me contente d’être à leurs pieds.

Boécien

Gebrane, je suis nouveau sur ce forum et il me semble que tu te dénigres trop. Tu es capable de fulgurance et ta culture et ta curiosité mathématique m'étonnent. Certes on sent un peu de gribouillage parfois comme si tu confondais vitesse et précipitation mais tu aides beaucoup avec tes interventions et tu enrichis ce forum chaque jour.

Pomme de terre

Salut @gebrane , je ne comprends pas ta réaction mais je crois qu'en fait tu plaisantes. Le plus important en maths, à mon avis, ce n'est pas la technique elle-même mais plutôt le fait de trouver les bonnes questions. Déjà de ce point de vue, tu fais un excellent travail !

gebrane

@Pomme de terre   Je suis le schtroumpf Joyeux du forum, et @raoul-s peut le confirmer. 

@tous  J'ai déplacé quelques énigmes faciles comme échauffement.   vous pouvez me proposer des énoncés pour les énigmes  5, 14, 15 et 30

raoul.S

Pomme de terre a dit :

Le plus important en maths, à mon avis, ce n'est pas la technique elle-même mais plutôt le fait de trouver les bonnes questions.

N'oublions pas les réponses qui vont avec...

Calli

Pardon d'être resté silencieux @Boécien, j'étais chargé ces derniers jours, donc je n'ai pas regardé le forum. Du coup, Pomme de terre semble avoir résolu la question, donc c'est bien je n'ai rien à faire.

En parlant de ça, ne doit-on pas poser plutôt $C_n = \frac1{L_n}\sum_{k=1}^n\lambda_ka_k$ dans la première ligne de la preuve, @Pomme de terre ? Et bravo à toi pour cette preuve.

Pomme de terre

@Calli Bien vu pour la coquille, enfin quelqu'un qui lit vraiment !

Calli

Nouvelle énigme n°5 : Soit $(u_n)$ une suite développable en puissances de $n$ au sens suivant : il existe une suite $(a_n)$ telle que $\sum a_n$ converge et : $\forall n\in\Bbb N^*,\; u_n = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a_k}{n^k}$. Trouver les 4 premiers termes du développement asymptotique (limite comprise) de $\frac1n \sum\limits_{k=1}^n u_k$.
C’est assez amusant parce que ces termes sous tous assez différents, alors qu’en général les développements asymptotiques sont assez redondants.

gebrane

@Boécien   Il me semble sauf étourderie que $\lim_{n\to \infty}\frac1n \sum\limits_{k=1}^n u_k = a_0$ car $u_n=a_0+ \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^k}=a_0+\frac 1n \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^{k-1}}$

Puisque la série $\sum a_n$ converge, alors la suite $(a_n)$ est bornée , donc $|\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^{k-1}}|\leq M \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n^{k-1}}=M\frac 1{1-\frac 1n}=M\frac n{n-1}$, donc \sum\limits_{k=1}^\infty  u_n=a_0+0=a_0$

Boécien

Je trouve quant à moi un truc du genre $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_{k}=S+a_{0}-a_{1}+a_{1}\frac{\log n}{n}+a_{1}\gamma n^{-1}+\left(a_{0}+\frac{3a_{1}}{2}-S\right)n^{-2}+...$ mais je n'ai pas vérifié mes calculs.

Edit : ce n'est pas ça !

gebrane

@Boécien   Il me semble sauf étourderie que $\lim_{n\to \infty}\frac1n \sum\limits_{k=1}^n u_k = a_0$ car $u_n=a_0+ \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^k}=a_0+\frac 1n \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^{k-1}}$

Puisque la série $\sum a_n$ converge, alors la suite $(a_n)$ est bornée , donc $|\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{n^{k-1}}|\leq M \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n^{k-1}}=M\frac 1{1-\frac 1n}=M\frac n{n-1}$, donc $\lim_{n\to \infty} u_n=a_0+0=a_0$.

Calli

@gebrane oui, c'est la limite. ‎👍

@Boécien, malgré les erreurs de calculs, le développement a un peu cette tête.‎

gebrane

M-i-c-i @Calli pour ton pouce  levé , je vais rougir.

Normalement @Chaurien ou @jandri ne font qu'une bouchée de ce genre de développements asymptotiques.