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Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz

Modifié (19 Feb) dans Analyse
Bonjour à tous et à toutes.

Ce fil a pour objectif de présenter un recueil d'exercices sous formes d'énigmes autour de "Cesàro, Cesàro généralisé, Stolz-Cesàro, Sommations d'Abel et Silverman–Toeplitz". Certaines énigmes sont originales qui viennent de mes discussions sur le forum, d'autres sont classiques ou trouvées sur le net. Vous pouvez aussi enrichir ce forum en ajoutant des énigmes que vous jugez intéressantes sur le thème ( en respectant le numéro alloué à l'énigme), je donnerai avec plaisir un lien dans cette première page ciblant l'énigme. Vos propositions de solutions originales vont être gravées dans la mémoire de ceux qui vous lisent. Ce fil peut constituer pour un colleur  en prépa (qui se doit avoir assez de recul )  une caverne  d'Ali Baba sur Césaro et compagnies. C'est un travail collectif et un plaisir partagé

Avertissement : Chercher les solutions de ces énigmes sur le net pour donner un lien est un peu con !

Echauffement 0 Cesàro pour calculer une limite.
Soit $a>0$. Calculer la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac a k)^{\frac kn}$
Preuve par Calli

$$\log\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)$$Comme $k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow a$ par Cesaro direct on a
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow a\Rightarrow\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\rightarrow e^{a}$$

Echauffement 1   Silverman–Toeplitz
Soit $a_n$ une suite réelle qui converge vers  $a \in \mathbb{R}$. Soit une double suite $c_{k,n}$ avec ( $1\le k \le n$) vérifiant : \begin{align*} \forall k,\qquad& \lim_{n \to \infty}c_{k,n} = 0 \\  &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_{k,n} = 1\\ \exists M>0,\ \forall n,\qquad& \sum_{k=1}^n |c_{k,n}| \le M
\end{align*} Alors $\lim_{n \to \infty}s_n =a$, où $s_n \equiv \sum_{k=1}^n
 c_{k,n} \cdot a_k.$

Preuve par Calli

Soit $\varepsilon >0$. Soient $m>0$ un majorant de $(|a_n|)$ et $n_0$ tel que : $\forall n>n_0, |a-a_n|<\frac{\varepsilon}{3M} \text{ et } \Big|1-\sum\limits_{k=1}^n c_{k,n}\Big| <\frac{\varepsilon}{3|a|+1} $. Soit $n_1>n_0$ tel que : $\forall n>n_1, \forall k\in[\![1,n_0]\!], |c_{k,n}|<\frac\varepsilon{6mn_0} $. On a $\forall n>n_1$, $$\begin{eqnarray*} \left|a-\sum_{k=1}^n c_{k,n} a_k \right| &\leqslant & \left|\sum_{k=1}^n c_{k,n} (a-a_k) \right|+ \left| a-\sum_{k=1}^n c_{k,n}a \right|\\
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} |c_{k,n}| |a-a_k| +  \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| |a-a_k| + |a| \left| 1-\sum_{k=1}^n c_{k,n} \right|\\
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} \frac\varepsilon{6m n_0}\, 2m +  \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| \frac\varepsilon{3M}+ |a| \frac{\varepsilon}{3|a|+1}\\
&\leqslant& \frac\varepsilon3  +  \frac\varepsilon3 + \frac{\varepsilon}3 \\
&=& \varepsilon
\end{eqnarray*}$$
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Échauffement 2 ( Lemme de l’escalier pour la moyenne de Cesàro)
Soit  $(a_n)$ une suite réelle ou complexe et notons $M_n=\frac 1n \sum_{k=1}^n a_n$ . Si $M_{n+1}-M_n\to 0$ , alors $\frac{a_n}n\to 0$  ( On peut s'aider par  le lemme de l'escalier  classique)
Preuve par  Boécien

On a $nM(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ et donc par différence on obtient

$$(n+1)M(n+1)-nM(n)=a_{n+1}$$

Soit

$$\frac{a_{n+1}}{n}=M(n+1)-M(n)+\frac{M(n+1)}{n}$$

D'après Cesàro comme $M_{n+1}-M_{n}\rightarrow0$ il en va de même de $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k+1}-M_{k}\right)=\frac{M_{n+1}}{n}$ et donc $\frac{a_{n+1}}{n}\rightarrow0$ ce qui permet de conclure.

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Échauffement 3 (Démontrer qu'une suite n'est pas Cesàro sommable)
Montrer que la suite u définie par $\forall n\in\mathbb N,\,  u_n=(-1)^n n\, $ n'est pas Cesàro sommable.
(Penser à  utiliser l’échauffement 2)
Preuve par
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Échauffement 4 (Cesàro généralisé)
Soient $\lambda_n$ une suite de réels strictement positifs avec $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k \to +\infty$ et $(a_n)$ une suite réelle . Montrer que si $a_n\to l\in \mathbb R$ alors $\frac 1{\sum_{k=1}^{n} \lambda_k}\sum_{k=1}^{n} \lambda_ka_k\to l$.
Le résultat reste-il vrai si $l$ est infinie?
Preuve par  Boécien


Soit $a_{n}\rightarrow\ell$ et $\lambda_{n}>0$ avec $\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\rightarrow\infty$ alors $\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k}\rightarrow\ell$.
Preuve :
$\forall\varepsilon>0$ il existe $n_{\varepsilon}$ tel que $n\geq n_{\varepsilon}\Rightarrow\left|a_{n}-\ell\right|<\varepsilon/2$ et alors
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2\frac{\left|\sum_{k=n_{\varepsilon}}^{n}\lambda_{k}\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2$$
Comme $\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\rightarrow0$ il existe $n'_{\varepsilon}$ tel que $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})\Rightarrow\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}<\varepsilon/2$, il s'ensuit que pour $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})$ on a
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\varepsilon$$
 et donc $\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k}\rightarrow\ell$.


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Échauffement 5 (Application directe de Cesàro généralisé)
1-Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si $a_n\to l\in\bar \R$, alors $\frac 1{n^3}\sum_{k=1}^n k^2a_k \to \frac l 3$.
Preuve par @Boécien

Si $a_n\to l$, alors si $\frac{a_n}3\to \frac l3$. On applique alors Cesàro généralisé à la suite $\lambda_k= 3k^2$


2-Pour toute suite $a=(a_n)$, on note $M_n^{(m)}(a) $ sa moyenne de Cesàro d'ordre $m\in\N$: $M_n^{(m)} (a)= \frac{(n-1)!(m+1)}{(n+m)!} \sum_{k=1}^n \frac{(m+k-1)!}{(k-1)!} a_k$ ( La moyenne de Cesàro d'ordre 0 est la moyenne de Cesàro classique). Montrer que si $a_n\to \alpha$, alors $\forall m\in\N,\, M_n^{(m)}(a)\to \alpha$
Preuve par @raoul-s
 On a $\frac{(n-1)!(m+1)}{(n+m)!} \sum_{k=1}^n \frac{(m+k-1)!}{(k-1)!}a_k=\frac 1{\binom {n+m}{m+1}}\sum_{k=1}^n \binom {m+k-1}{m} a_k$. De plus  $\sum_{k=1}^n \binom {m+k-1}{m}=\sum_{i=m}^{m+n-1}\binom {i}{m} =\binom {n+m}{m+1}$ d’après l'identité de Hockey-stick . On conclut par Cesàro-généralisé


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Énigme 1
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si 
$\ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}k \to l\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0$.
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Énigme 2
Soient $(a_n)$ une suite réelle et  $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$.  Montrer que
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} \to l\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{b_n} \sum_{k=1}^n a_k \to 0$
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Énigme 3
Soient $(a_n)$ une suite de réelles et $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$. 
Montrer que si $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_kb_k\ $ converge alors $\ \displaystyle b_n\sum_{k=n}^{+\infty} a_k → 0$.
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Énigme 4
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si 
$ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$.
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Énigme 4 bis réciproque de l'énigme 4
Soit $(a_n)$ une suite croissante de nombres réels. Montrer que si 
$\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$, alors $ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $
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Énigme 5 (Proposée par Calli)
Soit $(u_n)$ une suite développable en puissances de $n$ au sens suivant : il existe une suite $(a_n)$ telle que $\sum a_n$ converge et : $\forall n\in\Bbb N^*,\; u_n = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a_k}{n^k}$. Trouver les 4 premiers termes du développement asymptotique (limite comprise) de $\frac1n \sum\limits_{k=1}^n u_k$.
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Énigme 6
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{2n})$ converge vers  $a$  et $(u_{2n+1})$ converge vers  $b$ . En appliquant Cesàro, montrer que la moyenne de la suite $(u_n)$ tend vers la moyenne de a, b
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Généralisation 1 de l"énigme 6
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{3n})$ converge vers  $a$ , $(u_{3n+1})$ converge vers  $b$ et $(u_{3n+2})$ converge vers  $c$. En appliquant Cesàro, montrer que la moyenne de la suite $(u_n)$ tend vers la moyenne de a, b, c
Lien vers une solution
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Énigme 7
Soient deux suites réelles convergentes $(a_n)$ et $(b_n)$. Soit $c_n=\frac 1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n-k}$. On suppose que $a_n\to a$ et $b_n\to b$ . Montrer que  $c_n\to ab$
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Généralisation 1 de l'énigme 7 ) :
Soient trois suites $a_{n},b_{n},c_{n}$ convergeant respectivement vers $a,b,c$. Alors on a
$$\frac{2}{n^2}\sum_{i+j+k=n} a_i\,b_j\, c_k\, \rightarrow abc$$
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Généralisation 2 de l'énigme 7 ) :
Pour tout couple $(p,n)$ d'entiers naturels non nuls, on note $\Delta_p(n)$ l'ensemble des $p$-uplets d'entiers naturels non nuls dont la somme vaut $n$.
Soit $p$ un entier, et soit $(a_{m,n})_{m \in \{1,\cdots,p\}, n \in \mathbb{N}^*}$ une famille de réels et supposons que pour tout $m \in \{1,\cdots,p\}$, $(a_{m,n})_{n}$ est convergente.
Alors \[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\vert \Delta_p(n) \vert} \sum_{(n_1,\cdots,n_p) \in \Delta_p(n)} \prod^p_{m=1} a_{m,n_m} = \prod^p_{m=1} \lim_{n\to \infty} a_{m,n}.\]
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Énigme 8 Cesàro pour calculer une limite.
Calculer la limite de $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{k.2^{k-n}}{k+1}$.
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Énigme 9 (Lorsque Cesàro et Cesàro généralisé échouent )
Soit $(u_n)$ une suite réelle .
Si  $ u_n \to L\in \R$ , alors $\frac 1{2^n} \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}  u_k \to L$
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Énigmes 10,11 et 12
10. Inversion très faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}$ croissante alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
11. Inversion faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=o\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
12. Inversion forte de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
 lien vers une solution de l'énigme 10lien vers une solution de l'énigme11;   lien vers une solution de l'énigme12;
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Généralisation des énigmes 11 et 12 par @Boécien et @Pomme de terre

Soit $a_{n}$ une suite de réels . On suppose qu' il existe une suite $\lambda_n$  de réels strictement positifs avec $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k \to +\infty$ et notons $L_n = \sum_{k=1}^n \lambda_k$. On suppose
1- $a_n - a_{n-1} = o(n^{-1})$
2- $\frac n{L_n}=O(1)$
( Condition de Boécien)
ou bien
1- $a_n - a_{n-1} = O(n^{-1})$
2-$\exists c > 0$ tel que $\frac{L_{n+1}}{L_n} \geq 1 + \frac{c}n$ APCR
(condition de Pomme de terre)

Alors pour tout $\ell \in \R$,
$$\frac1{L_n}\sum_{k=1}^n \lambda_k a_k \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \ \implies\ a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell.$$

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Énigme 13 (Cesàro pour chercher un équivalent)
Soient $a\ge 0$, $l\in\R^*$ et  $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n-u_{n-1}\sim {n^a} l$.
Chercher un équivalent de  $u_n$ .
( Pour a=0, on retrouve le résultat classique $u_n\sim ln$
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Énigme 14

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Énigme 15

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Énigme 16
Soit $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. Montrer que si 
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\in\R\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2a_n} \sum_{k=1}^{n} ka_k \to \frac L{L+1}$
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Énigme 17  ( modifiée)
Soient   $\alpha >0$ et  $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. Montrer si $\sum_{k=1}^n a^{\alpha}_k\sim \frac 1 {a_n}$ alors $a_n\sim (n(\alpha +1))^{-\frac 1{\alpha +1}}$
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Énigme 18
Soient  deux suites réelles  $(a_n)$  et $(b_n)$. On suppose
1-  $a_n \to 0$
2- $\frac 1n\sum_{k=1}^n k|a_{k+1}-a_k|  \to 0$
3-$\exists M>0; \forall n>0, |\frac 1n\sum_{k=1}^n  b_k|\le M$
Montrer que $\frac 1n\sum_{k=1}^n a_kb_k  \to 0$
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Énigme 19  modifiée 
Soit $(a_n)$ une suite réelle et $\alpha\in]-1,1[$.Montrer que $a_n\to 0\, \iff \,a_{n+1}-\alpha a_n\to 0$
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Énigme 20 ( Quelques propriétés utiles (indépendantes) de la moyenne de Cesàro)
Pour toute suite $u=(u_n)$, on note $M_n(u) = \frac1n\sum_{k=1}^n u_k$ sa $n$-ième moyenne de Cesàro. Soient deux suites $a=(a_n)$ et $b=(b_n)$ strictement positives.
1- Montrer que $\forall n, M_n(a)\cdot M_n(\frac 1{a})\geqslant 1$
2- Si $a_n\to \alpha>0$ et $M_n(b)\to \beta$, alors $a_n \cdot M_n(\frac{b}{a})\to\beta$
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Énigme 21 (modifiée)
Soit $(a_n)$ une suite positive de moyenne de Cesàro convergente. Montrer que si  $\frac {a_n}n\to 0$, alors  $\frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n a_k^2 \to 0$
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Énigme 22 (Une généralisation de l'énigme 16)
Soit $(a_n)$ une suite réelle avec $\forall n\ge 1, a_n\neq 0$. Soit $L>0$. Montrer que si 
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\ $ alors $\forall p\in \N,  \displaystyle \frac 1{n^{p+1}a_n} \sum_{k=1}^{n} k^p a_k \to \frac L{1+pL}$
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Énigme 23 (Cesàro et matrices) 
On note $E=O_n(\mathbb R)$ l'ensemble des matrices orthogonales d'ordre n à coefficients réels muni d'une norme subordonnée. Soit $A\in E$ telle que $I_n-A$ est inversible. En utilisant Cesàro montrer que la suite $(A^n)$ des puissances de $A$ ne peut  converger vers une matrice B
lien vers une solution de l'énigme
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Énigme 24
montrer que la moyenne de Cesàro d'une suite $(a_n)$ périodique est convergente. Exemple $a_n=(-1)^n$
 lien vers une solution de l'énigme24
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Énigme 25
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer l'équivalence
$\sum_{k=1}^{+\infty} |a_k|$ est convergente $\iff$ pour toute suite réelle $(b_n)$ convergente, on a $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k b_k, $ est convergente
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Énigme 26 (Généralisation de Cesàro dans le cadre positif, on retrouve Cesàro classique pour $a=0 $)
Soit $(a_n)$ une suite réelle positive et décroissante. Soit $\ell>0,\ a\in[0,1[$ et $M_n$ sa moyenne de Cesàro. Montrer l'équivalence  $n^a a_n \to \ell \iff n^a  M_n \to \frac \ell{1-a}$
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Énigme 27 ( Comparaison entre les règles de d'Alembert et de Cauchy)
Soit $(a_n)$ une suite réelle strictement positif et $l\in [0,+\infty]$. Montrer en utilisant Cesàro que si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l  $ alors $u_n^\frac 1n\to l$.
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Énigme 28 ( Une application de la convergence au sens de Cesàro)
On considère des suites strictement positives $(a_n),\, (b_n)$et $(c_n)$ vérifiant $a_n=b_n c_n$. On suppose que
1- $a_n\to a$.
2- $b_n\to b$ au sens de Cesàro.
3- $c_n\to c$ au sens de Cesàro.
4- $ (b_n-b_m)(c_n-c_m)\ge 0 ,\quad \forall n,m\ge 1$.
Montrer que $a=bc$.
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Énigme 29
Soit $f:\, \R\to\R$ une fonction continue, $2\pi$-périodique. Montrer que la moyenne de Cesàro de la suite $(f(n))$ converge vers la moyenne de f sur une période
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Énigme 30
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Énigme 31 (Cesàro-continuité)
Quelles sont les fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour toute suite $(x_n)$ Cesàro-convergente, la suite $(f(x_n))$ est aussi Cesàro-convergente ?
Énigme 31bis :
Pareil que la 31, mais on s’intéresse aux fonctions qui envoient toute suite Cesàro-convergente sur une suite Cesàro-convergente et qui préservent la moyenne de Cesàro limite.
 lien vers une solution de l'énigme31 et 31bis
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Énigme 32
Pour toute série convergente $\sum a_{n}$ pour laquelle la fonction $f(x):=\sum a_{n}x^{n}$ converge si $0\leq x<1$ montrer qu'on a, en notant $A(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ :$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{A(0)+A(1)+\cdots+A(n)}{n+1}\leq\liminf_{x\rightarrow1}\ (1-x)\sum A(n)x^{n}$$et$$\limsup_{x\rightarrow1}\ (1-x)\sum_{n=0}^{\infty}A(n)x^{n}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{A(0)+A(1)+\cdots+A(n)}{n+1}.$$

Lien vers une solution
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Énigme 33
Soit $(a_n) $ une suite positive avec $a_0\neq0$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(a_n) $ pour que : pour toute suite réelle $(u_n) $,  $u_n$ converge si et seulement si $$\frac1{\sum_{k=0}^n a_k} \sum_{k=0}^n a_ku_k $$ converge.
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Enigme 34
Soit  $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R^{*+}}}$ Montrer l'implication
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{n}=l\in [0,+\infty]\Longrightarrow  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{f(k)}n}=\frac{\ln(1+l)}{l}$$
Si $f$ est croissante ou décroissante , a-t-on la réciproque ?
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Enigme 35 
Soit $f:\, [0,1]\to \mathbb R$ une continue, monotone et $(a_n)$ une suite réelle. Si $a_n\to a$ au sens de Cesàro, montrer que  $\frac 1{n}\sum_{k=1}^n f(\frac kn) a_k=a\int_0^1 f(x) dx$
On retrouve les sommes de Riemann si $a_k=1$ pour tout k
Ensuite remplacer f continue sur [0,1] pat f bornée sur [0,1] puis par f continue sur ]0,1] non bornée d'intégrale généralisée $\int_0^1 f(x) dx$ convergente
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Énigme 36
Soit une suite réelle positive $u$ avec $M_n(u)=O(n^{-a})$ et $a>0$. Montrer que la série $\sum \frac{a_n}n$ converge.
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Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
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Réponses

  • La deuxième limite est $0$, pas $l$.
  • Merci Guego un mauvais copier coller
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (2 Jan)
    Gebrane, si $a_k>0$ alors : $$\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k < \sum_{k=1}^n \frac{a_k}k $$Enfin... j'espère me tromper :)
    (Ah! ça a été corrigé)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Mon champion @Quentino37 , mais Hélas les (a_n) ne sont pas nécessairement positifs
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (2 Jan)
    Bonjour,
    En posant $b_n:=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k$, on a $$\frac1n \sum_{k=1}^n a_k = \frac1n \sum_{k=1}^n k(b_k-b_{k-1}) = \frac1n \left( (n+1)b_n - \sum_{k=1}^n  b_k\right) = \frac{n+1}n b_n - \frac1n\sum_{k=1}^n  b_k \longrightarrow l-l=0$$ par Abel puis Cesàro.
    Tu aurais mieux fait de ne pas dire que c'était du Cesàro ; ç'aurait été un peu moins facile. Mais c'est vrai que c'est une jolie application (et un bon futur exo de colle  ;)).
  • Modifié (2 Jan)
    Ça change tout un $l$ à la place d'un $0$ ! :)
    (Je dois faire mes devoirs j'en ai pleins !! ._.' Bonne nuit :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Modifié (11 Jan)
    Énigme 2
    Soient $(a_n)$ une suite réelle et  $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$.  Montrer que
    $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} \to l\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{b_n} \sum_{k=1}^n a_k \to 0$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • MrJMrJ
    Modifié (2 Jan)
    J’ai l’exercice dans mes feuilles de colles sous la forme suivante : montrer que si $\sum u_n$ est une série convergente de nombres réels, alors $\displaystyle{\sum_{k=0}^n k u_k = o(n)}$.
  • @gebrane : En posant $s_n:=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b_k}$, on a $$\begin{eqnarray*} \frac1{b_n} \sum_{k=1}^n a_k &=& \frac1{b_n} \sum_{k=1}^n b_k(s_k-s_{k-1}) \\ &=& \frac1{b_n} \left( b_n s_n - \sum_{k=1}^{n-1}  (b_{k+1}-b_k) s_k\right) \\ &=& s_n - \frac1{b_n} \sum_{k=1}^{n-1}  (b_{k+1}-b_k) s_k \\ &\longrightarrow& l-l=0 \end{eqnarray*}$$ par Abel puis Cesàro généralisé avec les poids $b_{k+1}-b_k$.

    @MrJ : Et ta méthode passe aussi par Cesàro ?
  • Modifié (3 Jan)
    Application 3
    Soient $(a_n)$ une suite de réelles et $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$. 

    Montrer que si $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_kb_k\ $ converge alors $\ \displaystyle b_n\sum_{k=n}^{+\infty} a_k → 0$.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • MrJMrJ
    Modifié (2 Jan)
    @Calli. J’avoue que je ne sais plus si j’utilisais Cesàro pour conclure ou si je procédais autrement. Ce qui est sûr, c’est que je commençais aussi avec une transformation d’Abel, donc ma solution devait être très proche.
  • Modifié (3 Jan)
    Application 4
    Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si 
    $ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • MrJMrJ
    Modifié (3 Jan)
    Que penses-tu de la suite définie par $a_k=1/k$ ?
  • C’était un copier-coller malheureux. On peut voir que le terme $\frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k$ est la moyenne arithmétique des nombres $\frac 1n \sum_{i=k}^n a_i$ pour $k=1,...,n$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (4 Jan)
    J'ai plutôt en notant $A(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ avec $A(0)=0$ $$\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=nA(n)-\sum_{k=1}^{n-1}A(k)$$
  • Modifié (4 Jan)
    Je crois qu'on peut arriver à résoudre cette dernière énigme. Si on note $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=u_{n}$ et $A(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ alors
    $$\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=nA(n)-\sum_{k=1}^{n-1}A(k)$$
    et donc
    $$\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=u_{n}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n}u_{k}$$soit$$\left|\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}-u_{n}\right|\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left|u_{k}\right|$$
    En faisant tendre $n$ vers l'infini on a par hypothèse $u_{n}\rightarrow0$ donc par Cesaro $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left|u_{k}\right|\rightarrow0$ et finalement
    $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=0$$
  • Modifié (4 Jan)
    @MrJ : D'accord.

    ---------------------------------

    J'ai une solution pour l'énigme n°3, mais elle n'utilise pas Cesàro. Notons $s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_kb_k$ et $\ell=\lim s_n = \sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k$. Alors, pour tous entiers $n<m$, $$\sum_{k=n}^m a_k = \sum_{k=n}^m \frac{a_kb_k}{b_k} = \frac{s_m}{b_{m+1}} -\frac{s_{n-1}}{b_n} + \sum_{k=n}^m s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right)$$ par transformation d'Abel. Or $$\sum_{k=1}^\infty\left| s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right)\right| \leqslant \sup_{j\in\Bbb N^*}|s_j| \sum_{k=1}^\infty \left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) = \sup_{j\in\Bbb N^*}|s_j| \,\frac1{b_1} <\infty$$ car $(s_k)$ est bornée et $\frac1{b_k}$ tend vers 0 en décroissant, donc $\Big( s_k\big(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\big)\Big)_{k\in\Bbb N^*}$ est une suite sommable. Ainsi, on peut faire tendre $m$ vers $+\infty$ dans l'égalité précédente, ce qui donne : $$b_n \sum_{k=n}^\infty a_k = 0 -s_{n-1}+ b_n \sum_{k=n}^\infty s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right).$$ Or : $\forall \varepsilon >0$, $$\left|\ell - b_n \sum_{k=n}^\infty s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) \right| \leqslant b_n \sum_{k=n}^\infty |\ell -s_k|\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) \leqslant b_n \sum_{k=n}^\infty \varepsilon \left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) = \varepsilon$$ quand $n$ est assez grand, car $\frac1{b_k}$ tend vers 0 en décroissant. Donc $b_n \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \longrightarrow- \ell+\ell =0$.
  • Joli Calli
  • Modifié (4 Jan)
    Une réciproque de  l'application 4
    Soit $(a_n)$ une suite croissante de nombres réels. Montrer que si 
    $\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$, alors $ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $
    Ma preuve n’utilise pas Cesàro mais on ne sait jamais. Je ne sais pas si on peut affaiblir les hypothèses pour avoir cette réciproque.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    Application 5 Cesàro pour calculer une limite.
    Soit $a>0$. Calculer la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac a k)^{\frac kn}$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Comme la moyenne arithmétique est inférieure au plus grand élément et que $a_{k}$ est croissante on a $\quad\displaystyle\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\leq a_{k},$
    comme Abel donne $$\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=n\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{k}a_{j},$$ d'où on tire $$\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}a_{j}.$$ On obtient grâce à $\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\leq a_{k}$ $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\leq\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}+\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n-1}ka_{k}.$$
    Soit en passant aux valeurs absolues
    $$\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right|\leq\left|\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}\right|+\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}\left|\frac{1}{(n-1)^{2}}\sum_{k=1}^{n-1}ka_{k}\right| .$$Comme $\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}\rightarrow0$ on en déduit $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\rightarrow0$.
  • Modifié (5 Jan)
    gebrane a dit :
    Soit $a>0$. Calculer la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac a n)^{\frac kn}$
    Tu es sûr que c'est n et pas k dans (1+a/n)  car on obtient directement exp(a/2).
  • @gebrane : comment résous-tu l'énigme n°3 avec Cesàro ? (Je présume que si tu as présenté ça comme une application, tu connais une solution avec Cesàro.)
  • Modifié (5 Jan)
    @Boécien J'ai corrigé. Merci
    Jolie preuve de  pour la  réciproque. Moi j'ai procédé par l'inégalité $$(n+1)\sum_{k=1}^n a_k \le 2  \sum_{k=1}^n k. a_k$$ Je laisse mon champion @Quentino37 donner une preuve à cette inégalité.
    @Calli J'avais ajouté au titre Abel pour être conforme à l'application 3 et
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    gebrane a dit :
    Application 5 Cesàro pour calculer une limite.
    Soit $a>0$. Calculer la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac a k)^{\frac kn}$
    $$\log\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)$$Comme $k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow a$ par Cesaro direct on a
    $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow a\Rightarrow\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\rightarrow e^{a}$$
  • Modifié (5 Jan)
    gebrane a dit :
    Une réciproque de  l'application 4
    Soit $(a_n)$ une suite croissante de nombres réels. Montrer que si 
    $\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$, alors $ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $
    Ma preuve n’utilise pas Cesàro mais on ne sait jamais. Je ne sais pas si on peut affaiblir les hypothèses pour avoir cette réciproque.
    Proposition de variante avec Cesàro via Toeplitz où à la place de la croissance de $a_n$ on met convergence.
    On a $\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}a_{k}$
    Comme
    • $\frac{2k}{n^{2}}\rightarrow0$ pour tout $k$ fixé
    • $\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}\rightarrow1$
    • $\sum_{k=1}^{n}\left|\frac{2k}{n^{2}}\right|\leq2$
    et on peut appliquer le théorème de Toeplitz qui donne
    $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}a_{k}=0=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\Rightarrow\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\rightarrow0$$
    où la dernière implication est une application de Cesàro.
  • Modifié (12 Jan)
    Énigme 6 (énigme modifiée)
    Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{2n})$ converge vers  $a$  et $(u_{2n+1})$ converge vers  $b$ . En appliquant Cesàro, montrer que la moyenne de la suite $(u_n)$ tend vers la moyenne de a, b
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (11 Jan)
    Énigme 7 (énigme modifiée)
    Soient deux suites réelles convergentes $(a_n)$ et $(b_n)$. Soit $c_n=\frac 1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n-k}$. On suppose que $a_n\to a$ et $b_n\to b$ . Montrer que  $c_n\to ab$


    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    gebrane a dit 
    Jolie preuve de @Calli pour la  réciproque . Moi j'ai procédé par l'inégalité $$(n+1)\sum_{k=1}^n a_k \le 2  \sum_{k=1}^n k. a_k$$
    Mais c'est @Boécien qui a montré cette réciproque, pas moi !

    Le n°6 est je pense l'application la plus connue de Cesàro. Le n°7 a déjà été donné : c'est le n°2 !
  • Modifié (12 Jan)
    Merci @Calli , je vais modifier  la 6 et la 7
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    Application 8 Cesàro pour calculer une limite. Calculer la limite de $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{k.2^{k-n}}{k+1}$.
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    gebrane
    Il me semble qu'avec Toeplitz (cf plus haut) la question est "vite répondue".
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • @ boecien Avec Cesàro c'est en un clic mais pas n'importe quel Cesàro.
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Pour le n°8, on peut faire un Cesàro généralisé avec les poids $2^k$ : $$\sum_{k=1}^n \frac{k\cdot2^{k-n}}{k+1} \sim\frac2{2^{n+1}-2} \sum_{k=1}^n\frac{k\cdot2^k}{k+1} =\frac2{ \sum_{k=1}^n 2^k} \sum_{k=1}^n \frac{k\cdot2^k}{k+1} \longrightarrow 2\lim_{j\to\infty} \frac {j} {j+1}=2.$$
  • @calli exact :D
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (5 Jan)
    Ce Cesàro généralisé est une application de Toeplitz qui va aussi très vite ici. Juste pour le fun si jamais on tombe sur des coefficients moins sympa...
    $$\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}2^{k-n}=2\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}2^{k-n-1}$$ • $2^{k-n-1}\rightarrow0$ pour tout $k$ fixé
    • $\sum_{k=1}^{n}2^{k-n-1}\rightarrow1$
    • $\sum_{k=1}^{n}\left|2^{k-n-1}\right|$ borné
    On peut donc appliquer le théorème de Toeplitz qui donne$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}2^{k-n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}=1$$
  • Modifié (6 Jan)
    Application 9 (Lorsque Cesàro et compagnies échouent )
    Soit $(u_n)$ une suite réelle .
    Si  $ u_n \to L\in \R$ , alors $\frac 1{2^n} \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}  u_k \to L$
    Il se fait directement ( assez difficile) , je ne sais pas si on peut appliquer Cesàro ou compagnies)
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Pour cette application 9 Toeplitz marche en une ligne.
  • Oui effectivement, j'ai ajouté dans le titre cette option d'utiliser Silverman–Toeplitz
    Il est très fort ce théorème
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (9 Jan)
    Pour que ce fil contienne les grands classiques au sujet de Cesàro on peut mentionner aussi le côté taubérien avec:
    10. Inversion très faible de Cesàro
    Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}$ croissante alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
    11. Inversion faible de Cesàro
    Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=o\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
    12. Inversion forte de Cesàro
    Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
    Comme on s'en doute la démonstration de 10 est plus facile que celle de 11 qui est moins dure que celle de 12.
  • Modifié (6 Jan)
    Exercice 13
    Peut on inverser 9 sans autre condition sur $a_n$ ? Càd si $a_n$ est une suite réelle a-t-on :
    $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}a_{k}=\ell\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\ell.$$
  • Modifié (11 Jan)
    Énigme 13 modifiée  (Cesàro pour chercher un équivalent)
    Soient $a\ge 0$, $l\in\R^*$ et  $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n-u_{n-1}\sim {n^a} l$.
    Chercher un équivalent de  $u_n$ .
    ( Pour a=0, on retrouve le résultat classique $u_n\sim ln$

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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (6 Jan)
    Je savais bien que 13 porterait malheur :D va pour $a_n>0$ dans un premier temps. Sinon  il faut que je passe au 14 pour un champion
    Exercice 14
    Soit une suite $a_{n}$ vérifiant $a_{1}=1$ et pour $n\geq2$
    $$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=1}^{n}a_{k}{n \choose k}$$Montrer que $a_{n}\rightarrow0$ (et rapidement).
  • $a_n>0$ ne suffit pas, prendre $a_n=(-1)^n+2$
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Bon alors croissante
  • Avec cette hypothèse, c'est plausible, à réfléchir
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (6 Jan)
    @Boécien  Pour la réciproque du 9, dans le cas d'une suite monotone,  il suffit de prouver Toeplitz lorsque la suite tend vers une limite infinie. Je rappelle ce théorème pour les visiteurs

    Silverman–Toeplitz

    Soit $a_n$ une suite réelle qui converge vers  $a \in \mathbb{R}$. Soit une double suite $c_{k,n}$ avec ( $1\le k \le n$) vérifiant :
    \begin{align*} \forall k,\qquad& \lim_{n \to \infty}c_{k,n} = 0 \\  &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_{k,n} = 1\\ \exists M>0 ,\ \forall n,\qquad& \sum_{k=1}^n |c_{k,n}| \le M
    \end{align*} Alors $\lim_{n \to \infty}s_n =a$, où $s_n \equiv \sum_{k=1}^n
     c_{k,n} \cdot a_k.$
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (6 Jan)
    Je suis vraiment assommé (pas besoin de démontrer Silverman-Toeplitz dans le cas d'une suite divergente), la réciproque du 9 dans le cas monotone est triviale puisque on peut démontrer le 9 pour L = infinie.
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (6 Jan)
    Enigme 15  (Stolz-Cesàro   contre Silverman-Toeplits)
    Montrer que $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac {1}{n^2}\sum\limits_{k=0}^{n}\ln\binom{n}{k}=1/2$ en utilisant Stolz-Cesàro   ou  Silverman-Toeplits.
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    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
  • Modifié (7 Jan)
    Application 16 Soit $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. Montrer que si 
    $ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\in\R\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2a_n} \sum_{k=1}^{n} ka_k \to \frac L{L+1}$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Quelle est la somme des nombres compris entre 100 et 1 000, qui peut être divisée par 14 ?
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