Équation différentielle au sens des distributions tempérées

Cere

Bonjour
J'aurais voulu savoir comment résoudre des équations différentielles au sens des distributions tempérées. 
Par exemple, comment résoudre l'exercice suivant.
Trouver toutes les solutions dans $\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R})$ de l'équation différentielle $T^{\prime \prime}+T^{\prime}+T=\delta_{0}$.
Auriez-vous une référence à me conseiller (livre ou poly) pour cela ? 
J'ai un cours d'analyse fonctionnelle ce semestre et j'ai pu voir cet exercice dans une annale d'examen d'une année antérieure. 
Nous avons uniquement  étudié les distributions tempérées, pas la théorie générale des distributions, et je n'ai aucun passage sur les équations différentielles. 
Sachant dériver et intégrer une distribution tempérée ainsi que connaissant la transformée de Fourier dans $S'$, j'aurais surement pu m'en sortir avec une équa diff d'ordre 1, par analogie avec les équa-diff de licence, mais là je ne vois pas. 
J'ai essayé d'utiliser la transformée de Fourier mais cela ne semble pas aboutir.
Merci d'avance pour votre aide !

Calli

Bonjour,
Je n'ai pas beaucoup étudié les résolutions d'EDO dans les distributions de manière générale, mais j'ai l'impression qu'on peut adapter toutes les méthodes connues des EDO de fonctions régulières.
Par exemple, pour $T''+T'+T=\delta$, une variation de la constante a l'air de marcher. Comme $x\mapsto e^{jx}$ est solution homogène, on pose $S= T e^{-jx}$ (j'identifie $x\mapsto e^{-jx}$ à sa distribution) et on trouve une EDO d'ordre 1 sur $S'$. Puis on refait une variation de la constante sur cette seconde équation pour trouver $S$. J'ai pas le temps de faire les calculs jusqu'au bout tout de suite, mais ç'a l'air de fonctionner.

nicolas.patrois

De mémoire, quand on résolvait ça, on utilisait la transformée de je ne sais plus qui (Laplace je pense, qui transformait les dérivées en multiplications et le Dirac en un autre truc). Ensuite, on isolait T et on lisait la table dans l’autre sens.

Calli

Je vais détailler, comme ça tu auras un exemple pratique d'applications des méthodes usuelles d'EDO aux équations différentielles de distributions.

On veut donc résoudre $T''+T'+T=\delta$ dans $\mathcal{D}'(\Bbb R)$. On pose $j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2$ et $S=Te^{-jx}$. Alors $$\delta = (S''e^{jx}+2S'je^{jx} +\cancel{Sj^2e^{jx}}) + (S'e^{jx}+\cancel{Sje^{jx}})+\cancel{Se^{jx}} = (S''+(2j+1)S)e^{jx}$$ donc $\fbox{$S''+i\sqrt3 S'=\delta$}$ car $1+j+j^2=0$ et $\delta e^{-jx}=\delta e^{-j0}=\delta$.
Donc il faut maintenant résoudre dans $\mathcal{D}'(\Bbb R)$ l'équation $U'+aU=\delta$, avec $a\in \Bbb C$ fixé. Comme $e^{-ax}$ est solution homogène, on pose $V=Ue^{ax}$. On alors $V'=U'e^{ax}+U ae^{ax}=\delta e^{ax}=\delta$. Notons $H={\bf1}_{[0,\infty[}$ la fonction de Heaviside. On a $H'=\delta$, donc il existe $k_1\in\Bbb C$ tel que $V = H+k_1$. Donc $U = (H+k_1)e^{-ax}$.
Appliquons-ça à $U=S'$ et $a=i\sqrt3$. Ça donne $S'(x) = (H(x)+k_1)e^{-i\sqrt3 x}$ (il se trouve que c'est une fonction $L^1_{\mathrm{loc}}$, donc j'ai droit de l'écrire comme ça) donc il existe $k_2\in\Bbb C$ tel que : $\forall x\in\Bbb R, S(x) = H(x)\frac{1-e^{-i\sqrt3 x}}{i\sqrt3} - \frac{k_1}{i\sqrt3} e^{-i\sqrt3 x} +k_2$. Donc en posant $c_1=k_2$ et $c_2 = -\frac{k_1}{i\sqrt3}$, on obtient que $T$ est une fonction $L^1_{\mathrm{loc}}$ qui vaut $$\begin{eqnarray*} &&T(x) = H(x)\frac{e^{i\frac{\sqrt3}2 x}-e^{-i\frac{\sqrt3}2 x}}{i\sqrt3} e^{-i\frac{\sqrt3}2 x} e^{jx}+k_2 e^{jx}  - \frac{k_1}{i\sqrt3} e^{(j-i\sqrt3 )x} \\[1mm] && \fbox{$T(x)=\displaystyle \frac2{\sqrt3} H(x)\sin\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2} + c_1 e^{j x} +c_2 e^{j^2x}$} \end{eqnarray*}$$

Cere

Merci pour vos réponses!
@Calli
Je suis en train de faire les calculs.

@nicolas.patrois, ce sont des choses que je n'ai malheureusement pas encore étudiées, peut-être le semestre prochain.

Edit : je n'avais pas vu que tu avais publié tes calculs, merci beaucoup, je vais pouvoir vérifier cela sereinement ! 

Cere

Je viens de tout refaire et vérifier, c'est super, je pense être maintenant au point pour ce genre de questions. 
Un grand merci à toi pour ces calculs, ils m'ont été très précieux.

Calli

Oui j'ai publié les calculs car je me suis dit que le fait de travailler dans $\mathcal{D}'$ peut créer des difficultés (ça dépend de son aisance avec les distributions), surtout comme tu disais que tu n'avais vu que les distributions tempérées.
Edit après ton dernier message : de rien :-).

Il reste le sens réciproque que je n'ai pas fait (pour l'instant j'ai fait l'analyse de l'analyse-synthèse). Il suffit de vérifier que $T_0:=\frac2{\sqrt3} H(x)\sin\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2}$ est solution. Et on peut appliquer la formule des sauts à $T_0$ et $$\begin{eqnarray*} T_0' &=& \frac2{\sqrt3} \cancel{\delta\sin\left(\frac{\sqrt3}2 x\right)} e^{- x/2} + H(x)\cos\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2} - \frac1{\sqrt3} H(x)\sin\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2} \\ &=& H(x)\cos\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2} - \frac1{\sqrt3} H(x)\sin\left(\frac{\sqrt3}2 x\right) e^{- x/2} \end{eqnarray*}$$ et calculer $T_0''+T_0'+T_0$. $\square$

Une question subsidiaire pour toi @Cere : lesquelles des solutions trouvées sont tempérés ?

Calli

En vrai, la réciproque est un peu superflue car on a presque fait un raisonnement par équivalences (du type : $T$ est solution de ... ssi $S$ est solution de ...). Donc c'est plus pour vérifier qu'on a pas fait d'erreur de calcul.

gebrane

Puisque l’équation est linéaire, les TL sont bien adaptées.

Cere

@Calli, pour moi toutes les solutions sont tempérées comme elles sont toutes bornées, c'est à dire pour tous scalaires $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$
Tout dépend si on accepte les fonctionnelles linéaires à valeurs dans $\mathbb{C}$ ou bien uniquement réelles, dans le deuxième cas alors il faut que $c_1 = c_2 = 0$ 

Toute question est la bienvenue! 
Comme j'étudie à distance, c'est à dire en autodidacte, je suis pas à l'abri d'être à côté de la plaque.

Calli

Non toutes les solutions ne sont pas bornées. Regarde à nouveau.
(Que les fonctions soient à valeurs complexes ne me dérange pas. Mais la condition nécessaire et suffisante pour que $T$ soit réel n'est pas $c_1=c_2=0$.) 

Cere

Effectivement, tout faux, j'aurais mieux fait de boire mon café avant. 
Il faut que $c_1 = c_2$ si on accepte pas les valeurs complexes (sauf erreur de calcul)

Cere

Cependant, j'ai bien l'impression qu'elles sont bornées 

Héhéhé

Vu qu'on est dans le cadre des distributions tempérées, le bon outil pour résoudre des EDO est de faire de la transformée de Fourier.

Calli

@cere : Oui c'est $c_1=c_2$. Pour la bornitude, que vaut $|e^{jx}|$ et quels sont ses limites en $\pm\infty $ ?

@Héhéhé : C'est intéressant de parler de ça. On trouve que $(-\xi^2 +i\xi +1)\hat T=1$ donc $T=\mathcal{F} ^{-1}\left(\frac 1{-\xi^2 +i\xi+1}\right)$. Cette transformée de Fourier est bien définie, mais je ne sais pas comment la calculer directement (sauf avec l'autre méthode de résolution que j'ai donnée, qui donne au passage sa valeur). Est-ce que tu as une méthode pour la calculer ? 

nicolas.patrois

À l’époque, on décomposait la fraction en éléments simples et on lisait le tableau de la transformée à l’envers.

Héhéhé

Décomposition en éléments simples.

Cere

@Calli, oui pardon on a $j$ et non $i$, j'avais majoré le module par 1 ... 
$e^{jx} = e^{-x/2}e^{-ix\sqrt{3}/2}$ et $e^{j^2x} = e^{-x/2}e^{ix\sqrt{3}/2}$ qui tendent en module vers l'infini en $-\infty$ 

Calli

@nicolas.patrois, @Héhéhé : ok ça marche en utilisant la formule $\mathcal{F}(H(x)e^{-ax})=\frac1{i\xi+a}$ (valable pour $a>0$) trouvée sur Wikipédia et l'action de la translation sur la transformée de Fourier. C'est plus rapide que la méthode avec variation de la constante dans ce cas où on peut calculer les transformées de Fourier (si le second membre était plus moche que $\delta$, pas sûr qu'on puisse).

@Cere : oui c'est mieux.

Héhéhé

Si le second membre était plus moche, l'autre méthode (variation de la constante) ne marcherait pas non plus

Calli

Qu'en sais-tu ? Tu n'as certainement pas testé tous les seconds membres possibles.
Je disais ça parce que la variation de la constante n'utilise que des primitivations, ce qui me paraît en général plus simple que des transformées de Fourier, ou au moins c'est plus usuel donc on peut s'en sortir plus facilement.
En revanche, si le second même est non tempéré, Fourier risque de ne servir à rien.

Par contre, comme on a trouvé la solution pour $\delta$, on peut avoir accès plus facilement aux solotions pour d'autres seconds membres, par convolution.

Héhéhé

Je ne vois pas en quoi la primitivation est plus simple que la transformée de Fourier, ou alors il faut que tu me donnes ta définition de plus simple.

Par exemple, on sait calculer explicitement la transformée de Fourier d'une gaussienne...