Je pense que tu voulais écrire $\Z\cap J = \{0\}$?
Je n’ai pas écrit le raisonnement en entier, mais si l’idéal $J$ n’est pas principal, alors il contient deux polynômes de degré minimal $P\in J$ et $Q\in J$ qui ne se divise pas dans $\Z[X]$. En supposant que $P$ et $Q$ ne sont pas constants, essaye de construire un troisième polynôme dans $J$ avec un degré plus petit à partir de $P$ et $Q$.
Une indication: tu peux essayer de montrer que $J=\mathbb{Z}[X]\cap J\mathbb{Q}[X]$, où $J\mathbb{Q}[X]$ désigne l'idéal engendré par $J$ dans $\mathbb{Q}[X]$, et tirer parti du fait que $\mathbb{Q}[X]$ est principal.
Remarque: le résultat n'est pas vrai sans l'hypothèse que $J$ est premier, par exemple $J=(2X,X^2)$ n'est pas principal.
Il me semble bien que le seul idéal premier $J$ de $\Z[X]$ tel que $J \cap \Z = \{0\}$ est $J =X\Z[X],\:$(C'est faux) et donc que $J$ est principal.
Soient $k :=\inf \Big\{\mathrm {Val} (P) \mid P \in J \Big\},\quad A\in J \text{ tel que }\:\mathrm{Val }(P) =k, \quad A=X^kB, \ B \in \Z[X], \ \mathrm{Val}(B) =0.$
Alors $k\neq 0$ ( ??voir le message suivant) et $k\geqslant 2$ est impossible, car dans ce cas on aurait $X^{k-1}(XB)\in J, \ X^{k-1}\notin J, \: XB \notin J,$ ce qui contredit le fait que $J$ est premier.
Ainsi $k=1, \ J\subset X\Z[X].\quad $ D'autre part: $\:B\notin J, \: A=XB\in J \implies X \in J, \ $ car $J$ est premier : $\:\:\: X\Z[X]\subset J.$
La suite des $\text{deg}P_k $ est strictement décroissante. $\quad \exists n \in \N^*$ tel que $\text{deg}P_n<r. \:\:$ Or $\:\: P_n\in J. \:\:$ Donc $\: P_n=0.$
Le système formé par les égalités $(\bigstar )$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ conduit alors à: $ \:\exists Q \in \Z[X]\:$ tels que $a^nP =QA.$
On déduit: $\:a^n \:\text{divise}\: c(QA) =c(Q)c(A)=c(Q).\quad $ Ainsi: $ \:\: \dfrac Q{a^n} \in Z[X], \quad P =\left( \dfrac Q{a^n}\right)A.\:\:$ On a donc prouvé: $\:J=A\Z[X].$
Réponses
Je n’ai pas écrit le raisonnement en entier, mais si l’idéal $J$ n’est pas principal, alors il contient deux polynômes de degré minimal $P\in J$ et $Q\in J$ qui ne se divise pas dans $\Z[X]$. En supposant que $P$ et $Q$ ne sont pas constants, essaye de construire un troisième polynôme dans $J$ avec un degré plus petit à partir de $P$ et $Q$.
Remarque: le résultat n'est pas vrai sans l'hypothèse que $J$ est premier, par exemple $J=(2X,X^2)$ n'est pas principal.
$k=0$ est possible aussi, $(X^2+1)$ est un idéal premier de $\Z[X]$.