Une propriété sur des morphismes

Kapor DE

Salut,

S'il vous plaît j'aurais besoin d'aide : étant donné $f$, un morphisme de $A$- modules, comment démontrer l'existence et l'unicité de $\overline{h}$ ?

MrJ

De la seule manière possible : si la fonction $\bar{h}$ existe, elle est nécessairement donnée (ce qui te donne l'unicité) par

$$\forall c\in {\textrm{CoKer}}(f),\quad \bar{h}(c)=h(y),\qquad\text{où}\quad y\in c.$$

Pour conclure, il faut vérifier que cette application est bien définie (c'est-à-dire que $\bar{h}(c)$ ne dépend pas du choix de $y\in c$).

Kapor DE

Merci

Foys

Une fonction est par définition un ensemble $f$ dont tous les éléments sont des couples et tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y) \in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z$. La collection $\{x\mid \exists y, (x,y)\in f \}$ est alors un ensemble appelé "domaine de $f$" et noté "$dom(f)$" (NB: on peut déduire des axiomes usuels de la théorie des ensembles - disons ZF - que toutes les collections envisagées dans ce message sont des ensembles).

On note pour tous $a,b$, $a(b):=\{z\mid \exists y,z \in y \wedge  (b,y)\in a\}$. Alors pour toute fonction $f$ et tout $x\in dom(f)$ on a $(x,f(x))\in f$, autrement dit l'unique $y$ tel que $(x,y)\in f$ n'est autre que $f(x)$.

Soit $E$ un ensemble , $R$ une relation d'équivalence sur $R$ et $g$ une fonction telle que $dom(g)=E$. Alors l'ensemble $\overline g:=\{(a,b) \mid a\in E/R \wedge  \exists c\in a, (c,b) \in f\}$ est une fonction si et seulement si pour tous $x,y\in E$ tels que $xRy$, on a $g(x)=g(y)$.

Lorsque cela se produit, $\overline g$ est l'unique fonction satisfaisant l'égalité $\overline g \circ \pi_R = g$ où $\pi_R:= \{(p,q)\in E \times E/R \mid p \in q\}$ et $a \circ b:= \{(x,z) \mid \exists y, (x,y) \in a \wedge (y,z) \in b\}$.

 Dans l'exemple du premier message du fil, $E:=Y$, $sRt:= \exists u\in X, s-t = f(u)$ pour tous $s,t\in Y$ et $g:=h$.

Kapor DE

Merci.