Combinaison lineaire de puissances d'un polynôme sans premiers termes

Joaopa

Bonjour à tous

Soit $\mathbb K$ un corps supposé commutatif, $P\in\mathbb K[X]$ de degré supérieur à $1$, $s$ un entier naturel. Existe-t-il $Q\in\mathrm{Vect}_{\mathbb K}(P^i\mid i\in\mathbb N)\cap X^s\mathbb K[X]$ non nul ?

Je n'arrive pas à voir que la matrice princpale du système obtenu est inversible.

Merci d'avance.

b.b

Bonsoir, je pense qu'il faut utiliser un argument de dimension.

$\mathrm{Vect}_{\mathbb{K}}(P^i,\, i\in\mathbb{N})=\mathbb{K}[P\,]$ (c'est la sous-$\mathbb{K}$-algèbre de $\mathbb{K}[X]$ engendrée par $P$). Les puissances de $P$ forment une famille libre infinie de $\mathbb{K}[X]$. En effet, toute sous-famille finie est constituée de puissances de $P$ dont les exposants sont strictement croissants, donc c'est une famille finie de polynômes échelonnée en degré, d'où le résultat. Les puissances de $P$ forment une famille libre et génératrice de $\mathbb{K}[P\,]$, donc c'en est une base. On en déduit que le sous-espace $\mathbb{K}[P\,]\subset \mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie.

Considérons maintenant la projection canonique $\pi : \mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}[X]/(X^s)$. Elle donne, par restriction, un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres $\varphi : \mathbb{K}[P\,] \longrightarrow \mathbb{K}[X]/(X^s)$ de noyau $\mathbb{K}[P\,]\cap (X^s)$. L'espace vectoriel $\mathbb{K}[X]/(X^s)$ est de dimension finie $s$ sur $\mathbb{K}$ (se démontre par division euclidienne). Comme $\mathbb{K}[P\,]$ est de dimension infinie, $\varphi$ ne peut pas être injective et son noyau $\mathbb{K}[P\,]\cap (X^s)$ est différent de $\{0\}$.