Tangentes à la parabole

Piteux_gore

Bonjour,
Comment prouver synthétiquement que les tangentes à une parabole menées d'un point sont égales à condition que ce point appartienne à l'axe ?
La preuve analytique est simple, mais plus il y a de preuves plus on rit.
A+

jelobreuil

Bonjour Piteux_gore,
Peut-être grâce à de simples considérations de symétrie ? Serait-ce suffisant ?
Bien cordialement, JLB

pappus

Bonjour à tous et Meilleurs Voeux
Alors rions!
La figure ci-dessous montre un triangle harpon quelconque de la parabole.
La médiane $AA'$ est la direction asymptotique de la parabole.
$F$ est le foyer.
Les triangles $FBA$ et $FAC$ sont directement semblables.
Donc:
$$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{FB}{FA}=\dfrac{FA}{FC}$$
Si on suppose de plus $AB=AC$, alors les égalités précédentes montrent que $F$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Comme ce triangle $ABC$ est isocèle en $A$, le point $F$ se trouve sur l'axe de symétrie $AA'$ du triangle isocèle.
Par suite la droite $AA'$ passant par le foyer et définissant la direction asymptotique de la parabole ne peut être que son axe!
A-t-on bien rigolé?
Bof!
Amicalement
pappus

Piteux_gore

RE
J'avais pensé à la propriété dont à propos de laquelle la tangente est la médiatrice du segment reliant le foyer au..., mais bon ?
A+

Piteux_gore

RE
J'ai déniché ce qui suit.

Dans une conique quelconque, il faut que le point soit sur un axe principal.

En général, soit $M$ un point du lieu des tangentes égales menées à une courbe algébrique ; $N$ et $N'$ les points de contact ; l'axe radical des deux cercles de courbure en $N$ et $N'$ touche au point $M$ le lieu des tangentes égales.
A+