Nature d'une suite
Bonsoir
Comment étudier la nature de cette suite en utilisant le critère de Cauchy.
$$W_n=\frac{\sin a}{1^k}+\frac{\sin 2a}{2^k}+\cdots+\frac{\sin na}{n^k},\qquad \forall n\ge 1,\ k\ge 2,\ a \in \R^*$$
Voilà ce que j'ai essaiyé de faire.
Comment étudier la nature de cette suite en utilisant le critère de Cauchy.
$$W_n=\frac{\sin a}{1^k}+\frac{\sin 2a}{2^k}+\cdots+\frac{\sin na}{n^k},\qquad \forall n\ge 1,\ k\ge 2,\ a \in \R^*$$
Voilà ce que j'ai essaiyé de faire.
Soit $\varepsilon >0, \ p>q$ avec $p$ et $q$ sont dans $\N$.
\begin{align*}
|W_p-W_q|&=\Big|\frac{\sin (q+1)a}{(q+1)^k}+\frac{\sin (q+2)a}{(q+2)^k}+\cdots+\frac{\sin pa}{p^k}\Big| \\
&\leq \frac{1}{(q+1)^k}+\frac{1}{(q+2)^k}+\cdots+\frac{1}{p^k} \\
&\leq \frac{1}{(q+1)^k}+\frac{1}{(q+1)^k}+\cdots+\frac{1}{(q+1)^k} \\
&\leq \frac{p-q}{(q+1)^k}
\end{align*}
|W_p-W_q|&=\Big|\frac{\sin (q+1)a}{(q+1)^k}+\frac{\sin (q+2)a}{(q+2)^k}+\cdots+\frac{\sin pa}{p^k}\Big| \\
&\leq \frac{1}{(q+1)^k}+\frac{1}{(q+2)^k}+\cdots+\frac{1}{p^k} \\
&\leq \frac{1}{(q+1)^k}+\frac{1}{(q+1)^k}+\cdots+\frac{1}{(q+1)^k} \\
&\leq \frac{p-q}{(q+1)^k}
\end{align*}
Je ne sais pas comment continuer.
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Réponses
Ne faut-il pas montrer que ça rend vers $0$ quand $q$ tend vers l’infini ?
Donc la différence est inférieure à epsilon donné lorsque les indices tendent vers l’infini.
Si non, essayes de majorer ta deuxième ligne à l’aide d’une intégrale.