Espace bornologique et e.l.c

Kcg

Bonjour à tous !!
 J'ai un exercice sur les espaces vectoriels topologiques et je n'arrive pas à démarrer. En fait c'est une question d'un sujet d'examen.
 Voici l'énoncé :
    Soit X un e.l.c (espace topologique localement convexe). On dit que X est bornologique si toute partie équilibrée,convexe et bornivore (absorde toute les parties bornées) de X est un voisinage de $0$ . Montrer que si X est limite inductive stricte alors X est bornologique.

  En me servant uniquement des définitions, je n'ai pas réussi à avancer d'un pouce. Mais en faisant des recherches, je trouve sur wikipedia une hypothèse supplémentaire. Ce résultat est le suivant : toute limite inductive stricte "d'espaces bornologiques" est bornologique.
 Maintenant ce dont j'ai besoin c'est soit de résoudre mon exercice initial, soit de trouver un contre-exemple de ce dernier et ensuite prouver le résultat de wikipédia.
 Si quelqu'un a une idée pour résoudre l'un de ces problèmes, elle est la bienvenue. Merci d'avance.

Poirot

C'est quoi une limite inductive stricte ? De quoi ? Il me semble que c'est clairement un oubli de l'expression "d'espaces bornologiques".

Si tu prends une famille constante d'elc non bornologique, il est clair que la limite inductive ne l'est pas non plus. Mais peut-être que c'est exclu par le terme "strict", dont je ne connais pas la signification.

Kcg

Salut poirot .Je vais rappeler la définition de limite inductive stricte.
  Soit X un espace vectoriel sur $\mathrm {K} $. On suppose que : 
 1) $X= \bigcup_{n=1}^{\infty}X_{n}; X_{n} \subset X_{n+1}$ et $X_{n}$ est un s.e.v de X;
 2) pour tout n ,$X_{n}$ est muni d'une structure d'e.l.c $\tau_{n}$ et $ \tau_{n} \equiv (\tau_{n-1})_{ |X_{n} }$
 Alors l'ensemble $\mathrm B$ des parties de X qui sont convexes, équilibrées et absorbants telles que : 
 $ b\in B , b\cap X_{n} \in V_{X_{n}}(0)$ 
Est une base de voisinages de 0 dans X pour une topologie d'e.l.c $\tau$ sur X. 
 Alors $\tau$ est appelé topologie limite inductive stricte des e.l.c $(X_{n},\tau_{n})$

Calli

Bonjour,
Tu prends $E\subset X$ équilibré, convexe, bornivore. Il faut vérifier qu'il est un voisinage de 0 dans $X$, donc il suffit de vérifier qu'il est équilibré, convexe, absorbant et que, pour tout $n$, $E\cap X_n$ est un voisinage de 0 dans $X_n$. Les trois premières vérifications sont triviales. Il te reste à faire la dernière, sachant qu'on a une méthode pour trouver des voisinages de 0 dans $X_n$.

Edit : Je fais l'hypothèse que les $X_n$ sont bornologiques.

Kcg

Poirot voilà la définition d'espace topologique limite inductive stricte qu'on nous a donné. Avec ça, est-ce que tes assertions sont toujours valides ??

Poirot

Mon contre-exemple constant fonctionne évidemment, oui.

Calli

À condition qu'il existe des e.l.c. non bornologiques . Moi je n'en connais pas, mais je présume que si on a inventé ce mot c'est qu'il en existe. 

Kcg

Ah oui, je viens de voir. Merci beaucoup Poirot .

Kcg

Calli on peut tout simplement prendre $\R$ muni de sa topologie usuelle. Alors l'intervalle centré en 1 et de rayon 1 est equilibré ,absorbant, bornivore mais n'est pas voisinage de 0.