Une nouvelle

Dom

Oui…
j’attends quelques réponses, puis on verra bien…

babsgueye

@Dom, je m'attendais à ce que tu me dises que ça, c'est pas une suite bien définie et je serais d'accord que le procédé démontre l'inexistence d'une suite (et pas liste) donnant tous ces nombres. C'est pourquoi je parle d'ordinaux (et pas cardinaux).

Dom

Ainsi, c’est bien fini cette histoire ?
ou bien ?

babsgueye

Ok, Merci Dom.

Dom

Ha… heu… pas de problème.
J’avoue ne pas bien comprendre l’échange 🤣

babsgueye

Ah bon, je me suis juste assuré que quand on parle d'énumération, il faut comprendre ''suite explicite'' et pas ''liste''. Là je rejoins un peu ce que dit @Sneg, j'ai l'impression que dans un ensemble dénombrable, les éléments doivent être plus ou moins bien ''séparés''.
J'ai résolu un problème d'intuition et je suis dans la foulée assurer que la théorie devait s'appeler théorie des ordinaux et non des cardinaux.

raoul.S

babsgueye a dit :

j'ai l'impression que dans un ensemble dénombrable, les éléments doivent être plus ou moins bien ''séparés''.

https://giphy.com/gifs/latenightseth-lol-seth-meyers-lnsm-l0XtbC8EniiuwAEOQn/fullscreen

Médiat_Suprème

babsgueye a dit :

je suis dans la foulée assurer que la théorie devait s'appeler théorie des ordinaux et non des cardinaux.

Encore une fois ceci est complètement faux ; si on rangeait les entiers suivant un ordinal  quelconque, on ne pourrait plus appliquer l'argument diagonal pour la quasi-totalité de ces ordinaux, car… il n'y aurait plus de diagonale.

Dom

Soyons naïf : pour le procédé diagonal, un carré est recommandé, un rectangle « peut » suffire s’il est bien orienté puis, comme dit plus haut, on peut généraliser avec des ensembles quelconques avec le produit $I\times I$. 

Médiat_Suprème

Certes  on peut "généraliser" la notion de diagonale à tout ensemble de la forme $I\times I$, mais on ne peut définir une diagonale naturelle (qui respecte les ordres) dans, par exemple, $\omega \times (\omega + 1)$ qui sont pourtant de même cardinal.

Dom

N’étant pas érudit sur ces sujets, ça m’intéresse…
Tout à coup, je m’interroge sur $\mathbb Z\times \mathbb Z$ (même si naturellement on pense à « raccorder » en $(0;0)$). 

Je reviens sur ce que tu dis. 

Le problème, si j’ai bien compris, c’est que $\omega$ désigne une classe d’ensembles et non un ensemble, c’est ça ?

Médiat_Suprème

$\omega$ est un ensemble, c'est le plus petit ordinal non nul n'ayant pas de prédécesseur (en gros, c'est $\mathbb N$, muni de sa relation d'ordre naturelle).

La diagonale $\mathbb Z \times \mathbb Z$ est l'ensemble des couples $(x, x)$

Dom

Ok. 

Et pour $\mathbb N\times (\mathbb N+1)$ ça m’évoque les couples $(u_k;u_{k+1})$, pour $k$ entier naturel. 

Qu’est-ce qui m’échappe ?

Médiat_Suprème

Attention, $\omega + 1$ n'est pas $\omega$ avec tous les éléments incrémentés de 1.

Foys

@GaBuZoMeu (je réponds tardivement; j'avais édité mon message mais il disait ce que tu avais détaillé par la suite): il s'agissait surtout de souligner le fait que l'argument diagonal est général et ne fait pas vraiment appel à la structure des objets concernés (ensemble de suites, programmes ou autre).

Dom

Ok, Médiat_Suprème, tout simplement. 

Zig

@babsgueye, je tente une formalisation d'un de tes points de vue.

J'ai l'impression que pour toi, "énumérer" un ensemble est le processus consistant à pouvoir prendre un premier élément dans l'ensemble, puis à passer au suivant, puis au suivant, etc.
Ce processus peut être infini, mais il est bien défini.

Cela induit bien une relation d'ordre, mais plus précisément, cela nécessite le fait que tout élément possède un successeur.

Si on l'écrit proprement, appelons bab-énumérable toute partie $X$ de $\mathbb{R}$ possédant cette propriété, c'est-à-dire que pour tout $x\in X$, l'ensemble $\left\{ y\in X\,,\:y>x\right\} $ est non vide et possède un minimum, qui s'appelle le successeur de $x$.

Ton intuition est semble-t'il : si une partie de $\mathbb{R}$ est dénombrable, alors elle est bab-énumérable.

Malheureusement c'est faux, comme le montre l'exemple de $\mathbb{Q}$.

Par contre, cette erreur peut se comprendre, par une sorte d'inversion de la logique.

En effet, a contrario, il est avéré que si une partie de de $\mathbb{R}$ est bab-énumérable, alors elle est dénombrable (mini exo de topologie utilisant justement le fait que l'espace $\mathbb{R}$ est séparable, i.e. possède une partie dénombrable dense).

Peut-être la confusion vient-elle de là?..

Sneg

Soudain quelqu’un est là au tourniquet. C’est moi, bonjour.

$\color{red}{Dom}$, tu as écrit ce message-ci https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2338220/#Comment_2338220  et tu m’as demandé de te répondre. Voici ma réponse :

Sans que personne ne me détrompe, on m’a laissé écrire dans ce fil que les réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$ et écrits sous forme de développement décimal illimité étaient, chacun, des objets mathématiques parfaitement déterminés. 

Ce que tu as écrit au point 2 de ton message précité semble le confirmer. En tout cas, je vais le prendre comme ça le temps de te répondre. Et je dois avouer que ce n’est pas fait pour me rassurer. Mais je me trompe peut-être. J’explique ce qui m’embarrasse.

Voici quelques exemples d’objets de la vie courante (pas forcément mathématiques) que je qualifie également, chacun, de « parfaitement déterminés » :

• des pommes dans un panier.

• des voitures garées sur un parking.

• des vaches dans un pré.

• des entiers naturels.

• des passants dans la rue.

• des billes dans un sac.

Dans la vie de tous les jours, tout le monde dira que ces objets peuvent être dénombrés, comptés, aussi nombreux soient-ils, à l’aide des entiers naturels. (Les mathématiciens diront que les ensembles contenant ces objets peuvent être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ou une partie propre de $\mathbb{N}$). Et peu importe qu’il y ait une infinité d’éléments à compter. Il suffit d’imaginer qu’on a toute l’éternité pour compter.

De sorte que, toujours dans la vie de tous les jours, il s’est sans doute ancré inconsciemment dans l’esprit des gens une implication qui prend la forme suivante :

objets parfaitement déterminés $\Longrightarrow$ objets dénombrables 

J’ignore si cette implication a jamais existé dans le monde des mathématiques mais, si on suppose un instant qu’elle ait existé, alors les mathématiciens ont dû un jour se retrouver confrontés au paradoxe suivant :

$\bullet$ D’une part, les éléments parfaitement déterminés dont il est question au point 2 de ton message, Dom, sont dénombrables en vertu de l’implication précitée.

$\bullet$ D’autre part, ces mêmes éléments parfaitement déterminés ne sont pas dénombrables en vertu de l’argument diagonal.

C’est ce paradoxe qui m’embarrasse.

S’il n’a jamais existé, comment est-ce possible qu’il n’ait jamais existé ?

S’il a un jour existé, comment les mathématiciens s’en sont-ils débarrassés ?

C’est ma réponse à ton message, Dom. Si je me trompe quelque part, merci de me dire où.

Dans la foulée, je vais m’efforcer de répondre au message suivant https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2338218/#Comment_2338218  de $\color{red}{Médiat Suprême}$ :

Dans le monde mathématique d’Alice, les choses sont différentes de ce qu’on vient de voir.

Ainsi, le fait que les réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$ et écrits sous forme de développement décimal illimité soient parfaitement déterminés n’y est qu’une hypothèse, que j’appelle  ici « l’hypothèse H ». En effet, ce que Dom a pu écrire au point 2 de son message précité ne convainc pas totalement Alice. Elle se réserve le droit de douter. Mais, au fond, Alice doit-elle justifier les règles de son cadre mathématique ?

En revanche, l’implication « objets parfaitement déterminés $\Longrightarrow$ objets dénombrables » y est élevée au rang de postulat (vu que cette implication semble tout simplement frappée au coin du bon sens). Idem pour sa contraposée « non dénombrables $\Longrightarrow$ non parfaitement déterminés ».

De sorte que l’argument diagonal, par l’intermédiaire de cette dernière contraposée, invalide tout simplement l’hypothèse H suivant le schéma suivant :

$\bullet$ L’argument diagonal prouve que les réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$ et écrits sous forme de développement décimal illimité sont non dénombrables.

$\bullet$ Des éléments non dénombrables ne sont pas parfaitement déterminés (la contraposée).

$\bullet$ Donc, les réels considérés ne sont pas parfaitement déterminés (l’hypothèse H est invalidée).

Pas de paradoxe, mais, c’est vrai, de curieux nombres non parfaitement déterminés. Deux cadres différents, deux résultats différents.

À propos de $\color{red}{GaBuZoMeu}$, j’avoue ne pas trop comprendre son message https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2338236/#Comment_2338236 . Donc, que GaBuZoMeu veuille bien me pardonner, je ne sais pas quoi répondre. Penserait-t-il que je m’oppose à l’argument diagonal ?

Quant à $\color{red}{raoul.S}$, je le remercie beaucoup de se faire comme qui dirait l’intermédiaire entre Alice et Cantor.

Je remercie aussi $\color{red}{GG}$, et finalement tous les intervenants...

gerard0

Un raisonnement imparable : en changeant la signification des mots, on a d'autres raisonnements.

Si on lit bien les exemples, les "bien déterminés" sont toujours en nombre fini. Allons plus loin : "bien déterminé = comptables à la main". Mais alors l'ensemble des entiers pose problème, tous les entiers ne sont pas déterminés.

Finalement, un retour de plus pour toujours dire la même chose. Les matheux racontent des c... parce que je ne comprends pas ce qu'ils disent, vu que je ne veux même pas savoir de quoi ils parlent, et je n'accepte comme idées correctes que celle qui sont dans ma tête.

Le degré zéro de la discussion. Même si Sneg a écrit de nombreuses pages sur ce qu'il y a dans sa tête. Mais sans doute est-ce le but : ce qu'il y a dans ma tête est bien plus important que tout.

Dom

Salut,

Tu te trompes à partir de « dans la vie de tous les jours ». 

Puis tu mets le doigt sur un vrai problème quand tu prononces le terme « inconsciemment ». 

Il s’agit de tous ces sentiments que tu dois mettre de côté si tu veux faire des mathématiques. 

Ce « 2) » est on ne peut plus formel. 

Et il n’utilise pas de pointillés. 

Je dis que c’est « parfaitement déterminé » même si cette expression ne veut rien dire pour moi.
C’est pourquoi je ne peux pas interpréter ton implication. 

Une remarque : l’ensemble qui contient toutes les parties de $\mathbb N$, est-il « parfaitement déterminé » ou pas ?

Cordialement.

Médiat_Suprème

On en revient encore et encore sur Une nouvelle - Page 3 — Les-mathematiques.net 

babsgueye

Salut. J'était un peu ailleurs...
Merci @Zig, c'est un peu ça. Je trouve que ''dénombrable'' est foncièrement lié à ''énumérable'' et beaucoup plus qu'à la notion de cardinal. C'est pourquoi je parle de théorie des ordinaux (pas le sens mathématique du mot ordinal) au sens que si on arrivait à trouver une relation d'ordre qui permettrait de donner les éléments de la liste dans l'ordre croissant par exemple, la méthode de Cantor ne permettrait pas de s'en sortir. On prolonge ensuite cette théorie en parlant d'ordinaux ; c'est un peu pour ça. Ce n'est qu'un problème de dénomination.

gerard0

Spéculation ("si on arrivait") oiseuse. Tout ensemble dénombrable est en bijection avec $\mathbb N$ et cette bijection induit un ordre par transport de l'ordre naturel de $\mathbb N$.

Babsgueye ne fait pas la différence entre "on n'a pas besoin" et "on ne peut pas". Quelle niaiserie !

babsgueye

@gerard0, le problème, c'est pas les ensembles dénombrables, mais plutôt ceux qui sont dits pour le moment indénombrables par la diagonale de Cantor.

Dom

La diagonale de Cantor ne dit pas forcément que « ceux » (ça ne veut rien dire !) de la diagonale de Cantor sont indénombrables. 

Le principe de la diagonale est très simple :
il construit un nombre qui n’est pas dans la liste. 

C’est tout !

Ensuite, « dénombrable » je sais ce que cela veut dire. 

« Énumerable », je ne connais pas sauf si c’est un synonyme du précédent. 

gerard0

Babs.. pour ceux-là, vouloir les énumérer est idiot ! Puisqu'ils ne le sont pas. Arrête de venir raconter tes rêves absurdes ici, tu te ridiculises.

Médiat_Suprème

@Dom : sans aucune garantie, il me semble qu'au début du XXᵉ siècle, on faisait la différence entre dénombrable (il existe une bijection) et (effectivement)  énumérable (on sait exhiber une bijection), ce genre de distinction est liée à l'intuitionnisme et au constructivisme.

Et je reste persuadé que les problèmes de babsgueye viennent de là.

gerard0

Oui, mais ce n'est pas l'idée de B. pour qui énumérable veut dire en bijection avec les entiers sans permettre l'argument diagonal !!

Dom

Ok Médiat_Suprème,
C’est possible. 

Je doute que babsgueye sache définir ces choses. 

Médiat_Suprème

Non, mais je crois qu'il les confond, qu'il est constructiviste, sans le savoir (j'ai retrouvé ces notions dans un texte de Borel).

Dom

Comme Gérard, je pense que babsgueye a autre chose en tête. Et je crains que ce ne soit au mieux confus et au pire erroné car « bloqué » par des certitudes. 

babsgueye

Dom a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2345059/#Comment_2345059

La diagonale de Cantor...

Ensuite, « dénombrable » je sais ce que cela veut dire. 

« Énumerable », je ne connais pas sauf si c’est un synonyme du précédent. 

@Dom tout laisse à faire croire d'après la démonstration de Cantor que ces deux mots sont synonyme.

Dom

Alors, babsgueye, donne les définitions avec lesquelles tu travailles. 

Au boulot !
Et ne te défile pas à poser un lien ou à dire « c’est dans message bidule ». 

Écris-les proprement. 

Sinon on discute sur des choses non fondées, c’est très pénible. 

babsgueye

@Dom je ne vais pas me mettre à exposer sur ce que tu vois de toi même et que tu ne veux pas admettre ici.

Dom

Donc tu souhaites que l’on parle de choses sans en connaître les définitions ?

C’est quoi « dénombrable », pour toi ?
C’est quoi « énumérable », pour toi ?

Comment peux-tu venir ici sans définir ton dictionnaire qui n’est certainement pas le même que les autres ?

raoul.S

Dom a dit :

Comment peux-tu venir ici sans définir ton dictionnaire qui n’est certainement pas le même que les autres ?

Mais enfin, Dom, "ici" c'est Shtam...

df

Qu’est-ce qu’on voit de soi-même mais qu’on ne veut pas admettre ?
Qu’est-ce qu’un ensemble $\textbf{babsgueye-dénombrable}$ ?
J’ai l’impression qu’on ne va pas tarder à sombrer dans le psychologisme.

Je me rappelle d’un problème de mathématiques d’olympiades où il était question de suites numériques qui ont une « vue sur la mer ».
Bien sûr, l’énoncé donnait la signification mathématique, pour une suite numérique, d’avoir une « vue sur la mer ».
Parce que c’était un problème de maths, pas un commentaire composé.

Dom

🤣

babsgueye

@raoul.S pour moi Shtam c'est encore juste une juxtaposition de cinq lettres ; ce que j'en sais c'est ce qu'en dit le forum, à savoir ''réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile''.

@Dom tu peux bien avoir la gentillesse de me rappeler ce que c'est ''indénombrable'' ?

Dom

Bref tu t’amuses. 

Tu démontres (si tu as déjà démontré quelque chose…) que tu viens pour discuter sans apprendre des choses aux autres et sans apprendre des choses toi-même. Tu fais semblant de t’emparer d’un sujet mais tu ne le comprends même pas dans ses fondements, dans ses notions élémentaires. 

J’admets que je viens ici parfois parce que par exemple j’attends un bus. Pour passer le temps d’une manière futile et bête. Oui, oui, ça m’arrive.
Là j’étais assez sérieux. 

Mais toi tu ne l’es pas. 

Tant que tu ne donnes pas tes définitions pour savoir « d’où tu parles », ça ne sert à rien, franchement, de parlementer.

babsgueye

Mais @Dom t'es pas plus sérieux que moi ici quand tu me demandes de te donner la signification de ''dénombrable'' alors que tu peux le lire en deux clics. Je pense savoir qu'il n'est pas permis de poser ce genre de questions dans ce forum, mais comme tu t'y mets... essaie juste de me répondre et tu auras ta réponse.

Dom

Moi : "Et ne te défile pas à poser un lien ou à dire « c’est dans message bidule ."
babsgueye : "tu me demandes de te donner la signification de ''dénombrable'' alors que tu peux le lire en deux clics."

Voilà...
Je ne demande pas qu'est-ce que "dénombrable" et qu'est-ce que "énumérable".
Je demande qu'est-ce que "dénombrable" et qu'est-ce que "énumérable" POUR TOI. (***)

C'est une énorme différence. Médiat_Suprème a répondu et je l'en remercie mais jusqu'alors tu n'avais jamais, TOI, fait de différence entre les deux puisque tu n'as JAMAIS dit ce que ces termes signifiaient.

Quant à "t'es pas plus sérieux que moi", tu te trompes évidemment. J'utilise des termes académiques, et des raisonnements académiques. Tu ne peux pas en dire autant. On peut prouver ça aussi dans ces choses que tu appelles "démonstration" et qui n'en sont évidemment pas (coureur solitaire ou autre).
C'est très sérieux ma question (***). C'est pour tenter de te comprendre.

babsgueye

Je pense que @Médiat_Suprème m'a mieux compris que que toi. En plus il me donne une piste de lecture ; moi aussi je l'en remercie.
Tu peux bien prendre les bonnes définitions pour toi et les mauvaises pour moi, mais j'ai jamais dit ni insinué que j'étais plus académique que toi. Si tu prétends l'être plus que moi, c'est possible,, parce que moi je suis amateur en maths sup.
Sur mes démonstrations dont tu parles en tant que grand mathématicien, tu n'as jamais pu pointer là où se trouve l'erreur, mais alors restons modestes.

@Dom, il se trouve que toi tu es très satisfait d'une démonstration, alors que moi pas vraiment, il n'y a rien de plus à comprendre après tout ce qu'on en a dit.

Dom

Houlala, je ne me fais pas mousser du tout.
Je dis que j'obéis à des règles. Je ne parle aucunement de niveau. On voit maintenant que ton problème d'égo intervient. C'est ton problème. Je ne me compare jamais en terme de niveau. Mon CV, je ne le donne pas. C'est donc un reproche totalement sans fondement.

Je ne parle pas non plus de "bonnes" ou "mauvaises" définitions. Je veux utiliser les mêmes que toi pour pouvoir échanger.
Manifestement, toi, tu ne le veux pas. Je ne connais pas tes définitions.

Je ne peux pas pointer d'erreur dans un texte qui n'est pas mathématique. 
Là, par exemple, tant que je ne sais pas ce dont tu parles ("dénombrable", "énumérable") ce serait étrange de dire "tu te trompes".
Pour tes autres textes, c'est la même chose. Tu n'explicites rien. Relis les fils où tu dis "j'ai démontré ça".

Sur la fin de ton message : "satisfait d'une démonstration".
Non, il n'y a pas à se satisfaire ou pas. Il s'agit de connaître les règles du jeu utilisées par l'auteur de la démonstration et de vérifier s'il les applique bien.
C'est ça, les maths : on a des règles, on les applique.
Toi, tu décides de ne pas le faire et avoues même ne pas connaître les définitions de mots que tu utilises... quelle drôle de démarche !!!

Enfin, remettre les règles en cause ne me dérange absolument pas. Et cela ne dérange aucun mathématicien.
Un mathématicien veut toujours savoir quelles sont les règles utilisées. 

Je te pose à nouveau la question : "dénombrable" et "énumérable", c'est quoi, pour toi ?
Tu vas encore te défiler ?

babsgueye

Est ce que tu ne peux tout simplement supposer que je donne les définitions qui courent les rues et à partir de là essayer de m'expliquer comment je me trompe. Je pense que ce dont je parle est plus fin qu'un simple problème de définition qu'on peut retrouver en deux clics. Essaie de comprendre cela, après je pense que tu pourras mieux me servir dans cette discussion, sinon on tourne en rond. C'est pas relire des définitions ou les réécrire qui va régler mon problème, sinon j'aurais pas besoin de m'exprimer ici.
De toute façon tu peux te dire que je ne te demande plus rien sur ce sujet.
@Dom, à propos de mes démonstrations qui ne sont pas des mathématiques (et tu dis que tu ne soulèves pas un problème de niveau !), je t'invite à aller faire une critique sur ma dernière au forum Combinatoire et Graphes : ''Problème du second voisinage''.
Merci d'avance.

Dom

Encore une fuite honteuse. On ne sait toujours pas pourquoi. Pour troller davantage ?« Définitions qui courent les rues », « définitions que l’on peut retrouver en deux clics » : alors ce doit être facile de faire un copier-coller ici, non ?

Mauvaise foi !
« C'est pas relire des définitions ou les réécrire qui va régler mon problème » : je te garantis que SI, JUSTEMENT !!!
Enfin, tu esquives et démontres que là tu es coincé, alors tu t’échappes. 

Je te cite : « De toute façon tu peux te dire que je ne te demande plus rien sur ce sujet.». 

Je m’en doute bien. Tu es pris dans tes contradictions. 

Mais tu as raison, ne reviens plus parler de ce sujet.

babsgueye

Je suis coincé par la donnée d'un copier-coller ! Je pense plutôt que tu n'as pas compris de quoi je parlais. Relis et pense.
Et n'oublie pas de venir quand tu auras le temps sur la critique que je t'ai demandée.

df

Merci pour ces précieux conseils Grand Maître !

gerard0

L'aplomb de Babsgueye est quand même surprenant !

Au départ, il ne comprend pas une preuve (comme très souvent). Mais comme quelqu'un d'autre la conteste pour des raison qu'il ne comprend pas non plus, il part sur ce nouveau cheval de bataille, en oubliant qu'ici, on fait des maths. Et quand on lui demande d'en faire, de dire quel est le sens des mots qu'il emploie, il se défile et fait la leçon aux autres.

À ce niveau, ce n'est plus de l'incompréhension, c'est de la vulgaire escroquerie. B. est un escroc qui veut se faire passer pour mathématicien.

b.b

Perso, moi je suis pour que l'on supprime la section Shtam et que l'on bannisse les shtameurs. Ils polluent le forum par leurs fils inutiles.