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Une nouvelle

Modifié (16 Jan) dans Shtam

Bonjour.

Joyeux réveillon ! Et bonne année 2022 à toutes et à tous ! 

Grand merci à celles et ceux qui liront la nouvelle que voici (et que je dédie en particulier à nodgim et à Claude Quitté) :

Une nouvelle - Page 3 — Les-mathematiques.net



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Réponses

  • Un joli conte pour présenter une idée fausse déjà dénoncée ici. Toujours le même baratin basé sur la confusion entre connu et existant.
    J'ai bien peur que conceptuellement, pour Sneg, l'année 2022 soit aussi pauvre que les précédentes ...
  • Modifié (December 2021)
    Voici comment je pense qu’il faudrait écrire le plus précisément possible, sous forme de développement décimal illimité, le plus petit réel qui lui est strictement supérieur (pour autant que celui-ci soit identifiable)

    Bob : Mais Alice, depuis le temps tu devrais savoir qu'étant donné un réel $x$ il n'existe pas de "plus petit réel qui lui est strictement supérieur".

    Au point que je me demande si les mathématiciens ne snobent pas purement et simplement les ensembles dont les éléments ne sont pas « tous déterminés et bien distincts les uns des autres » !

    Bob : Bien sûr que de tels "ensembles" sont snobés étant donné que ce ne sont pas des ensembles...:mrgreen:.  Alice dois-je te rappeler l'axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel ? 

  • Les huitres n'étaient pas fraîches.
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour, @raoul.S :

    Qu’on l’approuve ou pas, le raisonnement d’Alice est destiné à prouver, grâce à l’argument diagonal reposant sur une supposition aux yeux d’Alice indispensable, que l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité est un ensemble dont les éléments ne sont pas « tous déterminés et bien distincts les uns des autres ».
    Alice se rend compte que c’est là une porte ouverte vers « un nouveau monde mathématique », comme elle l’a dit à Bob tout en l’invitant à venir l’explorer. C’est sûr qu’on n’y retrouvera pas toute l’axiomatique existante. La seule chose qui importe, au fond, c’est de savoir si l’idée d’Alice donne naissance à un monde mathématique cohérent. Et pour le savoir, il faut y pénétrer.
  • Modifié (December 2021)
    @Sneg ce qui va permettre d'ouvrir la porte vers ce supposé "nouveau monde mathématique" c'est surtout le système d'axiomes auxquels tes (ceux de Sneg  d'Alice :mrgreen: ) nouveaux objets doivent obéir. L'ensemble des réels est construit au sein du système d'axiomes de Zermelo-Fraenkel, et quoi qu'en dise Alice, ses éléments sont bien tous distincts pour la simple et bonne raison que ça n'a pas de sens pour un ensemble de ne pas avoir ses éléments distincts.

    Ce que dit Alice à propos des réels est en partie juste, mais ça ne veut pas dire que les réels ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres. En fait je pense plutôt que ce que veut dire Alice est qu'il n'existe aucun algorithme qui permet de dire en un nombre fini d'étapes si deux nombres réels $x$ et $y$, donnés via leur développement décimal, sont égaux.

    C'est effectivement un "nouveau monde mathématique"
  • Bon, tant qu’on ne sait pas définir cette formulation du langage courant « tous déterminés et bien distincts les uns des autres », il n’est pas nécessaire d’aller bien plus loin. 
    Ce langage de vulgarisation est insuffisant. 
  • Modifié (December 2021)
    Bonsoir, @Dom :
    Je ne veux pas t’obliger à aller plus loin.
  • Bon, finalement, est-ce que Bob réussit à pécho Alice ?
  • Modifié (1 Jan)

    Bonjour, et bonne année 2022 !


    $0,785398163397\cdots$

    (Ce qui est entre crochets ci-dessous a été ajouté postérieurement à une remarque de Dom.)


    Les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision. Je dis d’un nombre présentant cette particularité qu’il est « non déterminé ».


    Or, dans l’argument diagonal, chaque nombre [écrit sous forme de] (à) développement décimal illimité qui figure dans une liste de ce genre-ci :

    1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$

    2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$

    3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$

    4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$

    5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$

    6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$

    $\vdots$

    est censé ne représenter qu’une seule et unique valeur précise. (Je dis d’un nombre représentant une seule et unique valeur précise qu’il est « déterminé ».)


    Par quel procédé un nombre non déterminé peut-il devenir déterminé dans un raisonnement ?

    (Alice, elle, en fait la supposition : « À supposer que les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité deviennent, dans l’argument diagonal, des nombres déterminés, alors je peux en dresser la liste (sinon, je ne pourrais pas). Mais, ce faisant sans qu’on puisse me reprocher quoi que ce soit, mon listage aboutit à une contradiction. Donc, ma supposition initiale est fausse, et les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité sont et restent bel et bien non déterminés. C’est tout ce que prouve l’argument diagonal. Etc. »)


    Merci d’avance.

  • Salut et bonne année 2022.

    Sneg dit : 
    ...Pour me faire comprendre : le nombre 0,357⋯ ne représente pas un seul nombre mais tous les nombres commençant par « 0,357 » et cette remarque restera applicable quel que soit le nombre de décimales qui précéderont les trois petits points finaux.

    Partant, plus généralement, pas question de délimiter avec précision la moindre partie propre de ce genre d’ensemble. Donc, l’ensemble des parties de ce genre d’ensemble ne peut contenir avec précision que l’ensemble vide et l’ensemble tout entier.


    Je ne vois pas pourquoi ''...que l'ensemble vide et l'ensemble tout entier''.

    Les nombres représentés par ''0,3571'' ou ''0,35782'' sont bien des parties de l'ensemble ''0,357''.

    Dans ton nouveau monde si tu prends ce gence d'ensembles comme des éléments, tu arrives à montrer les injections et surjections que tu veux, et que $\mathbb{N}$ a beaucoup moins d'éléments que $[0, 1]$.

  • « Les nombres à développement décimal illimité présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision. »

    Si on part de ça, on part d’un truc faux. 
    (passons sur le fait que TOUS les nombres réels ont un développement décimal illimité)

    C’est complètement faux car cela revient à confondre $2$ avec les réels dont la partie entière est $2$.
    Pourquoi s’entêter dans ce sens ?  
  • Qui veut tuer son chien l'accuse de la rage. 
  • Modifié (1 Jan)
    Ok, Dom, j’ai oublié d’écrire une partie de ma phrase. (Dans le message initial de ce fil, je n’ai pourtant pas arrêté d’écrire « écrits sous forme de développement décimal illimité »). Je reprends :

    Les nombres $\underline{écrits}$ sous forme de développement décimal illimité, quel que soit le nombre de décimales précédant les trois petits points, présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision.

    Dans l’argument diagonal, c’est bien de ces nombres qu’il s’agit. Oui, non ?

    J’ai modifié mon message précédent en conséquence.
  • Modifié (1 Jan)
    Bonjour
    Non.
    Cordialement,
    Rescassol
  • DomDom
    Modifié (1 Jan)
    Ha ok.
    On pourrait le dire plus simplement : écrire un nombre  réel en écriture décimale n’est pas « possible » (humainement j’entends ici) pour tous les réels. Même d’ailleurs pour des nombres entiers très grands… ou bien par exemple pour $2^{{-10}^{{10}^{10}}}$. 
    Autre point de vue :
    écrire un nombre réel en n’écrivant que ses $N$ premières décimales c’est la même chose que de parler d’une suite dont on connaît ses $N$ premiers termes. On ne peut pas en faire grand chose. 
    Ainsi, dans une preuve, on ne le fait pas. 
    Enfin : l’écriture décimale d’un nombre n’utilise que les chiffres et éventuellement une virgule MAIS PAS D’AUTRES SYMBOLES (donc pas de pointillés). 

    Répondons à la question : dans l’argument diagonal de Cantor, non, on n’utilise pas de pointillés. Sauf pour schématiser le raisonnement mais il n’y a pas de pointillés signifiant qu’on ne sait pas ce qui se passe derrière. 
    On a des suites (les développements décimaux) et on les représente en concaténant les termes. 
    Ce sont des suites et comme chacun sait, on ne peut pas écrire tous leurs termes.

    On propose une suite $S$ de suites (de chiffres). 
    Et on construit une nouvelle suite de chiffres ce qui prouve qu’il en manquait une dans la suite $S$. 
    Pas de pointillés. 
  • Modifié (1 Jan)
    Ok, Dom. Pas de pointillés. Des suites.

    mais comment être sûr que la suite 
    $r_1=0,0000000\cdots$ (Tiens, encore des petits points, pardon.)
    est distincte de 
    $r_2=0,0000000\cdots$
    ?
  • Ben là on ne peut pas. 
  • On ne peut pas parce que ce ne sont justement pas des suites. seulement des écritures sans signification (*).
    Impossible d'avancer tant que Sneg confond les présentations de vulgarisation avec des démonstrations de mathématiques. Dans l'argument diagonal, on parle des décimales du développement décimal illimité choisi mais on ne les écrit pas. Sneg passe son temps avec des écritures non mathématiques, refusant de passer à une réflexion sérieuse.

    (*) on peut leur donner une signification conventionnelles (la suite des chiffres reste la même, donc ici dans les deux cas, il n'y a que des zéros, et c'est la même suite : Pas de distinction.
  • Modifié (1 Jan)
    Je partage l'avis de gerard0, @Sneg tu t'entêtes dans une direction qui ne mène nulle part. Tes questions ne sont pas formulées mathématiquement. Par conséquent on ne parle pas le même langage.

    Cette question  n'a pas de sens mathématique. Pour comprendre le sens que tu lui donnes dans ta tête, il faut parler un langage commun, celui des maths et là ce n'est pas le cas.
  • Peut-être qu’il va comprendre cette preuve, non ?
    Ok, je fais preuve d’un peu trop d’optimisme. 
  • Modifié (1 Jan)
    Ok, les garçons.

    @raoul.S : Si chercher à comprendre, c’est s’entêter, alors je veux bien qu’on dise que je m’entête.

    Conclusion. Qu’on arrête de présenter (presque) partout l’argument diagonal au moyen d’une liste de réels écrits sous forme de développement décimal illimité. D’autant que gerard0 a écrit : « Dans l’argument diagonal, ... , mais on ne les écrit pas. »
    Est-ce que cette dernière remarque signifie que dans ce raisonnement, il est question d’éléments possédant certaines propriétés, dont celle d’être distincts, sans forcément les écrire ?
  • Comment sais-tu écrire que deux suites sont distinctes ?
  • Les éléments figurant dans l’argument diagonal ne sont donc pas distincts ?
  • Zut… tu vas trop vite. 

    Je te réponds quand même :
    les éléments de la suite diagonale peuvent être égaux  puisqu’en général ce sont les termes d’une suite de symboles dont le cardinal est fini. 
    En général on prend la base deux (deux symboles) ou la base dix (dix symboles). 
  • Modifié (1 Jan)
    Là, ça confine à la malhonnêteté !!
    "Conclusion. Qu’on arrête de présenter (presque) partout l’argument diagonal au moyen d’un liste de réels écrits sous forme de développement décimal illimité."
    Manifestement, Sneg n'a jamais lu une preuve, y compris celle qu'on lui a présentée ici. Par refus de de se remettre en cause, il ne lit pas les réponses mathématiques et continue à se référer à de la vulgarisation mal comprise.
    Et sa dernière intervention montre qu'il joue sur les mots, pour éviter d'avoir à se dédire. Malhonnêteté, vous dis-je.
  • @Dom :
    Ta dernière remarque m'étonne un peu, puisque j’ai lu quelque part que, en s’y prenant bien (je simplifie), il n’y avait plus de problème de double représentation.
  • Modifié (1 Jan)
    Sneg a dit :
    Conclusion. Qu’on arrête de présenter (presque) partout l’argument diagonal au moyen d’un liste de réels écrits sous forme de développement décimal illimité.
    Tu trolles lourdement  : il n'y a aucun problème avec cette preuve.
  • Ce n’est pas incompatible (?!). 
  • Dom, permets-moi de sauter du coq à l'âne.

    Considères-tu que le nombre à développement décimal illimité suivant $0,09111501\cdots$ (pardon pour les pointillés) représente une valeur précise, exacte, unique ?

    (C’est affreux, quand je veux supprimer un caractère, il arrive que je voie tout mon message disparaître lettre par lettre sous mes yeux sans que je puisse faire quoi que ce soit. Cela arrive aussi à d’autres ?)
  • DomDom
    Modifié (1 Jan)
    Non. 
    Tu ne définis pas un nombre. Ta question n’a pas de sens.
    Un exemple : 
    penses tu que le nombre entre $3$ et $4$ est plus proche de $\pi$ que de $3,7$ ?

    Ma question est mal formulée et n’a pas de sens. 
  • J’interprète ta réponse comme étant « Non, ce nombre ne représente pas une valeur précise, exacte, unique ».

    Alors, est-ce que cela voudrait dire que ce nombre représente au moins deux valeurs approximatives distinctes ?
    (Ce nombre doit bien représenter quelque chose.)
  • DomDom
    Modifié (1 Jan)
    Mais non. 
    Ça ne s’interprète pas. C’est au mieux… très mal dit. Tu persistes à dire « ce » nombre comme s’il n’y en avait qu’un seul. 
    Autre exemple.
    Penses-tu que l’intervenant du forum est un analyste ou un algébriste ?
    Comprends-tu que ça ne vas pas ?

    Encore un autre.
    Le nombre premier inférieur à 100 qui se finit par 3.
    Allons, il faut se réveiller 😉
  • OMG, Normalement, à quel âge un enfant cesse de confondre la carte et le territoire ?
  • Modifié (1 Jan)
    Dom,
    toi aussi, ça te paraît bizarre de dire « ce » nombre, comme s’il n’y en avait qu’un seul !?!
    j’en tombe de ma chaise ! C’est ce que je m’évertue à dire depuis le début.

    Dans l’argument diagonal, où l’on présente les réels de la façon suivante :
    1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$

    2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$

    3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$

    4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$

    5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$

    6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$

    chaque réel est présenté comme étant un seul élément, alors que ce n’est pas le cas. C’est ce qui fait dire à Alice que « vouloir mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité reviendrait à vouloir mettre un ensemble de pommes bien rondes en bijection avec un autre ensemble de pommes ... présentées sous forme de compote ». 

    Pour que chacun de ces réels écrits sous forme de développement décimal illimité soit considéré comme un seul élément, il faut l’imaginer, le supposer. C’est ce que fait Alice. Partant, elle fait reposer l’argument diagonal sur une supposition, ce qui change tout. Car, alors, l’argument diagonal et sa contradiction prouvent juste que chacun de ces nombres n’est pas « un seul élément ».

  • DomDom
    Modifié (1 Jan)
    Non, non, tu n’as pas compris la preuve. 
    « Imaginer » oui peut-être, « le supposer » bah oui, c’est le début de la preuve. 
    On dit « supposons qu’il existe une énumération des réels entre 0 et 1, c’est-à-dire qu’il existe une suite de développements décimaux qui énumère les réels ». 

    On note $x$ ce premier développement décimal, $y$ le second, $z$ le troisième. 
    Ici on parle bien des trois premiers termes d’une suite. Et chaque terme est une suite.
    On a : (le zéro et la virgule ne servent à rien mais c’est pour se représenter les écritures décimales)
    $x=0,x_1x_2x_3…$
    $y=0,y_1y_2y_3…$

    Mais là on présente les pointillés comme une schématisation et non comme l’écriture propre de quelque chose. On les présente ligne par ligne pour travailler avec. 

    Remarque : j’ai confondu volontairement « développement décimal » et « écriture décimale ». 
  • Modifié (1 Jan)
    Sneg a dit :
    Dom, toi aussi, ça te paraît bizarre de dire « ce » nombre, comme s’il n’y en avait qu’un seul !?!
    j’en tombe de ma chaise ! C’est ce que je m’évertue à dire depuis le début.

    Dans l’argument diagonal, où l’on présente les réels de la façon suivante : ...
    Cette présentation permet de faire comprendre l'argument diagonal à un enfant de 10 ans mais apparemment, pas à toi.
  • J’ajoute : on pourrait se passer de cette schématisation et ne faire que du formel. 
    C’est alors au lecteur de décortiquer ce que dit l’auteur. 
  • Modifié (1 Jan)
    Ok, Dom. Mais je me demande s’il ne faudrait pas ajouter quelque chose à ce que tu écris, comme :

    ... c’est-a-dire qu’il existe une suite de développements décimaux « qu’on considérera, chacun, comme représentant un unique objet mathématique » (précision nécessaire à mes yeux car, pour moi, chacun en représente une infinité) ...

    J’imagine que tu vas me dire que non.
  • Ce qui compte c’est que l’image les contienne tous (les réels entre 0 et 1).
    Si elle en répète quelques uns, on s’en fiche. 
    On suppose que c’est surjectif : que quel que soit le réel entre 0 et 1, il existe un développement décimal qui est un terme de la suite. 

    On parle d’une énumération des réels. 
    On peut exiger une suite bijective, oui.

    Je veux bien que tu nous montres une preuve où ce passage n’est pas clair, si tu veux. 

  • Sneg a dit :  « vouloir mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité reviendrait à vouloir mettre un ensemble de pommes bien rondes en bijection avec un autre ensemble de pommes ... présentées sous forme de compote ». 
    De plus Sneg j'ai l'impression que tu ne peux pas t'empêcher de considérer la relation d'ordre sur $\R$ comme faisant partie du problème. C'est cette relation d'ordre qui te fait dire que les réels "c'est de la compote", mais la relation d'ordre n'a rien à voir dans tout ça.

    Concernant les trois points : si tu devais exposer par écrit à quelqu'un un argument concernant la suite des entiers positifs, tu écrirais comment cette suite ?
    Tu pourrais par exemple lui dire, "soit 0,1,2,3,4,5,..." la suite des entiers positifs. Ou bien tu pourrais encore lui dire "soit 0,1,2,3,4,5, etc." la suite des entiers positifs.
    Tu es bien d'accord que dans ce cas les trois points "..." ou le "etc." sont juste là pour dire "supposons que j'ai écrit l'infinité des nombres entiers". Mais tu ne mettrais jamais en discussion le fait que la suite de ces nombres représente une suite précise j'espère, juste parce que tu ne les as pas tous écrits.
  • JLapin, pour ne citer que lui, a l’air de penser que je ne comprends pas l’argument diagonal tel qu’il est présenté un peu partout, c’est-à-dire genre « L’argument diagonal pour les nul(le)s ». Je comprends ce raisonnement et ne le conteste pas. Au point même que je m’en sers dès le message initial de ce fil.

    Là où nos chemins divergent entre vous et moi, c’est que je fais reposer obligatoirement ce raisonnement sur la supposition selon laquelle les éléments de l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité sont de même nature que ceux de $\mathbb{N}$, c’est-à-dire « déterminés et bien distincts les uns des autres » (car s’ils ne le sont pas, c’est inutile de vouloir en dresser la liste). Dom me dit que cette expression entre guillemets, employée pourtant par Cantor lui-même, est trop vague, malgré tous mes exemples donnés.

    Peut-être qu’un vrai mathématicien exprimera un jour cette idée en vrai langage mathématique. Moi, je l’ai traduite comme je pouvais, sous forme d’une nouvelle. 

    En ce qui me concerne, je reste sur ma faim, car aucun argument avancé ne me prouve que les éléments de $[0, 1[ sont « déterminés et bien distincts les uns des autres », pour reprendre les termes de Cantor. On me dira que j’ai tort de m’accrocher à cette expression, mais je n’en connais pas d’autre.

    Merci à tous, en particulier Dom, à qui j’espère ne pas avoir pourri son premier de l’an et à qui je remercie de m’avoir tenu compagnie à distance. Je suis en quarantaine et pas au mieux de ma forme.
  • Quand allez-vous vous rendre compte que vous confondez carte et territoire, et que pas une seule fois dans ce fil vous n'avez parlé de nombre !
  • DomDom
    Modifié (1 Jan)
    Comment ça ?
    quel est le problème avec les éléments de $[0;1[$ ?

    quand tu parles de ce passage : 
    « les éléments de $[0;1[$ sont bien déterminés et distincts les uns des autres » 

    C’est je pense le point de départ de la preuve, à savoir « Supposons que… »
    - « Déterminé », je ne sais pas ce que c’est, et j’imagine que cela signifie, « atteint » (surjection) et que la suite est bien définie (on a bien une seule image pour chaque entier naturel). 
    - « distincts des uns des autres », c’est l’injection 

    Autrement dit : la suite, de $\mathbb N$ dans $[0;1[$ est supposée bijective. 

    Où est le problème ?
    Encore une fois c’est le point de départ. 
    On va obtenir une contradiction en supposant cette bijection.
  • Modifié (1 Jan)
    Sneg a dit : En ce qui me concerne, je reste sur ma faim,...
    Ben il y a de la compote si tu veux :mrgreen:
  • raoul.S :D:D
  • Modifié (1 Jan)
    Sneg a dit. En ce qui me concerne, je reste sur ma faim, car aucun argument avancé ne me prouve que les éléments de $[0, 1[ sont « déterminés et bien distincts les uns des autres »,
    Soit $x$ et $y$ deux éléments de $[0,1[$ tel que $card \{x,y\}=2$.
    Alors $x$ est différent de $y$ sinon on aurait $1=2$.
    Conclusion : les éléments de $[0,1[$ sont distincts les uns des autres.
    Par ailleurs, ils sont bien déterminés : les éléments de $[0,1[$ sont exactement les réels qui sont positifs ou nuls et aussi inférieurs strictement à $1$. Cette définition d'un ensemble s'appelle une définition en compréhension.
  • C’est drôle, Dom, on semble dire la même chose au départ, mais pas à l’arrivée.

    Je commence par dire (comme toi ?) : « Supposons que ces nombres (tu devines lesquels) soient déterminés et bien distincts les uns des autres, alors je peux les dénombrer (sinon je ne pourrais pas). Seulement, en les dénombrant j’obtiens une contradiction. J’en conclus que ces nombres ne sont pas déterminés et bien distincts les uns des autres. »    Et la, apparemment, on n’est plus d’accord. Toi, tu sembles (?) arriver à la conclusion que ces nombres restent déterminés et bien distincts les uns des autres, mais que malgré tout ils sont non dénombrables. Oui, non ?
  • Oui, ces nombres sont bien déterminés, distincts les uns des autres et l'ensemble est une partie indénombrable de $\R$.
  • Modifié (1 Jan)
    Le degré zéro du raisonnement : "alors je peux les dénombrer (sinon je ne pourrais pas). "
    Et confusion entre "ils sont déterminés et bien distincts" et "je peux les dénombrer", confusion que j'ai déjà dénoncée entre "il y a" et "je peux". Généralement, c'est vers 4 ans qu'on abandonne l'idée de sa toute puissance.
  • Je crois devoir abandonner.
    Si tu dis comme moi, alors tu as compris.
Cette discussion a été fermée.
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