Fonction holomorphe
Bonsoir
Puisque toute fonction holomorphe est analytique, alors :
si $f$ est une fonction holomorphe en $a$ avec $f(a)=0$, la fonction $\frac{f(z)}{z-a}$ est aussi holomorphe en $a$.
Je veux m'assurer qu'il n'y pas de détail qui m'échappe dans cette proposition.
Merci.
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Réponses
Un autre résultat souvent utilisé dans le cours permet aussi de conclure : si $f$ est continue sur une partie ouverte $U$ de $\C$ et si $f$ est holomorphe sur $U$ privé d’un point, alors $f$ est holomorphe sur $U$.
Il y a une implication triviale : CV uniforme sur $U$ $\implies$ CV uniforme sur tout compact de $U$. Comme la réciproque est fausse, il est "plus prudent" de chercher à prouver la deuxième. En particulier, comme il est suffisant de montrer la CV uniforme sur tout compact, c'est a fortiori suffisant sur l'ouvert entier. En revanche, il n'est pas nécessaire d'avoir la CV uniforme sur l'ouvert entier.
C'est quoi, la CV normale pour une suite de fonctions ?