Solution d'une équation sur les entiers
Bonjour
Problème. Trouvez les solutions de l'équation suivante sur les entiers $$x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}.$$
J'ai essayé de l'intégrer dans une équation Pell $x^{2}-Ny^{2}=D$, mais je n'ai pas réussi à progresser. Je pense également que nous pouvons utiliser un peu de théorie des groupes. Il y a quelques solutions entières que j'ai trouvées par inspection.
Merci.
Problème. Trouvez les solutions de l'équation suivante sur les entiers $$x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}.$$
J'ai essayé de l'intégrer dans une équation Pell $x^{2}-Ny^{2}=D$, mais je n'ai pas réussi à progresser. Je pense également que nous pouvons utiliser un peu de théorie des groupes. Il y a quelques solutions entières que j'ai trouvées par inspection.
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Réponses
- $x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)$.
- $x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x-i)(x+i)$ sur $\mathbb{C}$.
Nous savons que $$x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2} \iff (x+1)(x^{2}+1)=y^{2} \implies y=\pm \sqrt{(x+1)(x^{2}+1)}.$$Certaines solutions peuvent être trouvées par inspection.
On a $1+x+x^2+x^3=(1+x)(1+x^2)=y^2.$
Si $1+x$ et $1+x^2$ sont premiers entre deux, alors $1+x=y$ et $1+x^2 = y$ : on obtient $x=x^2$ et donc les solutions $x=0, y=\pm 1$ et $x=1, y=\pm 2.$
CE PARAGRAPHE EST FAUX : VOIR MESSAGE CI-DESSOUS.
Si $1+x$ et $1+x^2$ ne sont pas premiers entre eux, alors il existe $d>1$, tel que $1+x=da$ et $1+x^2=d b$ avec $a,b$ premiers entre eux. On a donc $1+(da-1)^2 = db$ et donc $d(da^2-2a-b)=2.$ On a donc $d=\pm 2.$
On reporte $1+x = d a, 1+x^2=db$ et alors $d^2 a b=4 ab = y^2.$ On sait alors que $y$ est pair $y=2Y.$ On a donc $ab=Y^2$ avec $a,b$ premiers entre eux. Il faut donc $a$ un carré et $b$ un carré. Mais comme $b$ est un carré positif et $1+x^2$ est positif, on a $d=+2.$
Le système devient : $1+x = 2 u^2, 1+x^2=2 v^2$ et $y=\pm 2 u v.$ On peut restreindre à $u$ et $v$ positifs.
On traite le cas $1+x=0$ et donc la solution $x=-1,y=0$ qui est la seule solution $x< 0.$
On calcule que nécessairement $(2u^2-1)^2 - 2 v^2 = -1$ qui est une équation de Pell.
A poursuivre...
Rapidement : Pell dit $v$ est impair, on écrit $v=2V+1$, puis $u$ est pair, on écrit $u=2U$ et donc $2 U^2(4U^2-1)=V(V+1)$ qui est de degré $2$ en $V$ et donc le discriminant doit être carré... et alors $U \in \{0,1,-5,30\}$ ; et la seule solution est $U=1, V=2$ et donc $u=2, v=5$ et donc $x=7, y=\pm 20.$
Je profite également de cette occasion pour vous souhaiter une bonne et heureuse année $2022$.