Une intégrale farce

gebrane

Bonjour

Calculer $\quad\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\Big|\sin{\left( nx -\frac{\pi}{2n} \right)}\Big| dx$

C'est une farce, soit on passe quelques secondes ou toute sa vie (j’exagère un peu).

gebrane

Personne ne trouve que  cette intégrale est comique? dommage car sa valeur ne dépend pas de n: sa valeur est 4.

Comment le démontrer en une seconde ?

bd2017

Bonjour

Faire  le changement de variable  $u=nx$   puis utiliser  la  visible  $2\pi$     périodicité  de  la fonction de variable u.  

L'intégrale  à calculer est donc  $\int_0 ^{ 2\pi}  |sin(u-\frac{\pi}{2n})| du$   et elle  vaut 4.

YvesM

Bonjour,

Pas si évidente (de tête), mais avec du papier : changement de variables $\displaystyle x \leadsto y$ avec $\displaystyle nx - {\pi \over 2n} = y$ : $\displaystyle I_n=\int_0^{2 \pi} |\sin (nx - {\pi \over 2n}) |dx = \int_{-{\pi \over 2n}}^{2\pi n-{\pi \over 2n}} |\sin y| {dy \over n}$ ; puis la relation de Chasles avec coupure en $0$ et $\displaystyle 2 \pi n.$ Par périodicité on a $\displaystyle \int_{-{\pi \over 2n}}^0 ... + \int_{2\pi n}^{2\pi n-{\pi \over 2n}}... = 0$ et il ne reste que $\displaystyle {1 \over n}\int_0^{2 \pi n} |\sin y| dy = \int_0^{2 \pi } |\sin y| dy =2 \int_0^{\pi} \sin y dy = 4$ par périodicité. 

Calli

Bonjour,
On peut aussi formuler ainsi :
Comme $2\pi$ est un multiple de la période de $f:x\mapsto\left|\sin\left(nx-\frac\pi{2n}\right)\right|$, l'intégrale est égale à $2\pi$ fois la moyenne de $f$. Or c'est la même que la moyenne de $x\mapsto \lvert \sin(y)\rvert$, qui vaut $\frac1\pi \int_0^\pi \sin(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1-(-1)}\pi = \frac2\pi$. Donc la réponse est 4.

gebrane

Bonjour à tous

J'ai découvert cette intégrale comique en voulant comprendre l'intégrale intrigante d'un récent fil, je me suis dit éliminons la partie cosinus et à ma surprise (après changement de variable et utilisation de la périodicité) j'ai atterri sur une intégrale ($\int_0^{2\pi} |sin x| dx$) qui ne dépend pas de $n$. J’étais intrigué et j'ai du tester plusieurs $n$ avec wolfram.

Aux professeurs, posez à vos étudiants pour voir, si $f$ est $T $-periodique, calculer $\int_0^T |f(nx+a)| dx,\ \forall n\in \N^*,\ \forall a\in \R$.

Dom

Justement non !
Le poser avec $\sin$ est plus difficile qu’avec $f$ car $\sin$ évoque bien plus de choses et provoque des réflexes calculatoires, d’après moi. 

gebrane

Bien compris @Dom , t'aime donc les sinus. Pour ton cadeau de Noël, je vais te proposer celle ci ( issue de mes aventures sur l'intégrale intrigante)

$$Dominique_n=\int_0^{\pi} |\sin(x)\cos(nx)|dx$$

Montrer que $Dominique_n=2(n-\sin(\pi/(2n)) / ((n^2-1)\sin(\pi/2n))$  (@Guego peut confirmer la justesse du résultat)

On n'est pas loin de l’intégrale intrigante.