Une intégrale farce
Réponses
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Personne ne trouve que cette intégrale est comique? dommage car sa valeur ne dépend pas de n: sa valeur est 4.Comment le démontrer en une seconde ?Le 😄 Farceur
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BonjourFaire le changement de variable $u=nx$ puis utiliser la visible $2\pi$ périodicité de la fonction de variable u.L'intégrale à calculer est donc $\int_0 ^{ 2\pi} |sin(u-\frac{\pi}{2n})| du$ et elle vaut 4.
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Bonjour,
Pas si évidente (de tête), mais avec du papier : changement de variables $\displaystyle x \leadsto y$ avec $\displaystyle nx - {\pi \over 2n} = y$ : $\displaystyle I_n=\int_0^{2 \pi} |\sin (nx - {\pi \over 2n}) |dx = \int_{-{\pi \over 2n}}^{2\pi n-{\pi \over 2n}} |\sin y| {dy \over n}$ ; puis la relation de Chasles avec coupure en $0$ et $\displaystyle 2 \pi n.$ Par périodicité on a $\displaystyle \int_{-{\pi \over 2n}}^0 ... + \int_{2\pi n}^{2\pi n-{\pi \over 2n}}... = 0$ et il ne reste que $\displaystyle {1 \over n}\int_0^{2 \pi n} |\sin y| dy = \int_0^{2 \pi } |\sin y| dy =2 \int_0^{\pi} \sin y dy = 4$ par périodicité. -
Bonjour,
On peut aussi formuler ainsi :
Comme $2\pi$ est un multiple de la période de $f:x\mapsto\left|\sin\left(nx-\frac\pi{2n}\right)\right|$, l'intégrale est égale à $2\pi$ fois la moyenne de $f$. Or c'est la même que la moyenne de $x\mapsto \lvert \sin(y)\rvert$, qui vaut $\frac1\pi \int_0^\pi \sin(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1-(-1)}\pi = \frac2\pi$. Donc la réponse est 4. -
Bonjour à tousJ'ai découvert cette intégrale comique en voulant comprendre l'intégrale intrigante d'un récent fil, je me suis dit éliminons la partie cosinus et à ma surprise (après changement de variable et utilisation de la périodicité) j'ai atterri sur une intégrale ($\int_0^{2\pi} |sin x| dx$) qui ne dépend pas de $n$. J’étais intrigué et j'ai du tester plusieurs $n$ avec wolfram.Aux professeurs, posez à vos étudiants pour voir, si $f$ est $T $-periodique, calculer $\int_0^T |f(nx+a)| dx,\ \forall n\in \N^*,\ \forall a\in \R$.Le 😄 Farceur
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Justement non !
Le poser avec $\sin$ est plus difficile qu’avec $f$ car $\sin$ évoque bien plus de choses et provoque des réflexes calculatoires, d’après moi. -
Bien compris @Dom , t'aime donc les sinus. Pour ton cadeau de Noël, je vais te proposer celle ci ( issue de mes aventures sur l'intégrale intrigante)$$Dominique_n=\int_0^{\pi} |\sin(x)\cos(nx)|dx$$Montrer que $Dominique_n=2(n-\sin(\pi/(2n)) / ((n^2-1)\sin(\pi/2n))$ (@Guego peut confirmer la justesse du résultat)On n'est pas loin de l’intégrale intrigante.Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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