Polynôme annulateur et endomorphisme bijectif

OShine

Bonsoir
a) Soit $\lambda \in sp(f)$. Alors il existe $x \ne 0$ tel que $f(x)= \lambda x$
On a donc $\forall k \in \N \ f^k (x)=\lambda^k x$ et donc $P(f)(x)=P(\lambda) x=0$
Comme $x \ne 0$ alors $\boxed{P(\lambda)=0}$
b) Le polynôme $P(X)=X^3+2X^2-X-2$ est annulateur de $f$. Par un calcul rapide, $\boxed{sp(f) \subset \{-2,-1,1 \} }$
Je bloque ici.

Magnéthorax

Solution dans l'esprit : lien entre bijectivité et présence d'un certain scalaire dans l'ensemble des valeurs propres ?
Solution pas dans l'esprit : de l'égalité, on déduit $f\circ \cdots=\mathrm{Id}$. D'où la bijectivité (et l'inverse au passage).

OShine

D'accord merci c'est en effet un résultat important que j'avais oublié.
On sait que :  $0 \in sp(f)$ si et seulement si $f$ est non bijectif.
Comme $0 \notin sp(f)$ alors $f$ est bijectif.
On a $f \circ ( f^2 +2f - id) =2 id$ donc $f \circ (\dfrac{1}{2} ( f^2 +2f - id ) ) = id$
$f$ est bijectif et $\boxed{f^{-1} = \dfrac{1}{2} ( f^2 +2f - id )}$.

gebrane

0∈sp(f) si et seulement si f est non bijectif.

C'est comme si tu dis que 9 est pair.

OShine

Ma remarque n'est valable d'une dimension finie. Bien vu Gebrane !
$0$ est valeur propre si et seulement si il n'est pas injectif.
Comme $0$ n'est pas valeur propre alors $f$ est injectif. Il reste à montrer que $f$ est surjectif.
Soit $x \in E$. On a $f^3(x)+2f^2(x)- f(x)-2x=0$ donc $x=f (  \dfrac{1}{2}  ( f^2(x) +2 f(x)-x ) )$
Il existe un élément $y \in E$ tel que $f(x)=y$. Il suffit de prendre $y= \dfrac{1}{2}  ( f^2(x) +2 f(x)-x )$
Donc $f$ est injectif et surjectif, $f$ est donc bijectif.

gebrane

Quelle fatigue !.

Du moment où tu as écrit que $f \circ \big(\frac{1}{2} ( f^2 +2f - id ) \big) = id$, la bijectivité de $f$ est assurée.

Magnéthorax

@Oshine : en dimension finie, l'inversibilité à g ou à d est suffisante. Petite question : $E$ $\mathbf{K}$-ev de dimension quelconque, $f\in L\left(E\right)$, et $P\in\mathbf{K}\left[X\right]$ annulateur de $f$. On suppose $P\left(0\right)\neq 0$. Montrer que $f$ est un automorphisme.

gebrane

@Magnéthorax  Mais ton exercice est difficile, je bloque, je n'ai aucune idée. 

Rescassol

Bonjour,

Autre petite question:
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension quelconque. Possède-t-il toujours un polynôme annulateur ?

Cordialement,
Rescassol

Magnéthorax

Oui, trivialement 

gebrane

Magnéthorax  Je crois qu'il voulait dire un polynôme annulateur non nul

Rescassol

Bonjour,

un polynôme annulateur non nul, bien évidemment, et la question est pour OS, sinon, c'est trop facile.

Cordialement,
Rescassol

OShine

Magnéthorax
N'as tu pas oublié l'hypothèse dimension finie ? 
On a $P(f)=0$ et $P(0) \ne 0$. Ainsi, $0$ n'est pas racine de $P$. Donc $0$ n'est pas valeur propre de $f$. Ainsi, $f$ est un endomorphisme injectif.
Il reste à montrer qu'il est surjectif. Je n'ai pas réussi.
Rescassol
En dimension infinie, l'idéal annulateur peut être réduit à $\{0\}$. En effet, soit $D$ la dérivation de $C^{\infty}(\R)$ et pour tout $\lambda \in \R$, on note $\forall t \in \R, \ e_{\lambda} (t)= \exp( \lambda t)$
Notons $Ann(D)$ l'idéal annulateur de $D$.
Soit $\lambda \in \R$ et $P \in \R[X]$. On a $P(D)(e \lambda)= P(\lambda) e_{\lambda}$ car $e_{\lambda}$ est vecteur propre de $D$ pour la valeur propre $\lambda$.
Soit $P$ un polynôme annulateur de $D$. Comme les fonctions $e_{\lambda}$ sont non nulles, on a $\forall \lambda \in \R ,\ P(\lambda)=0$
$P$ a une infinité de racine, il est donc nul. On a donc $Ann(D) \subset \{0 \}$
L'inclusion réciproque étant évidente, il vient $\boxed{Ann(D)=\{0 \} }$

Mister Da

Bonjour,

OShine, par rapport à ce que disait Magnéthorax, soit $P(X) = a_nX^n + \cdots + a_0$ un polynôme annulateur d'un endomorphisme $f$. Par hypothèse, $a_0$ n'étant pas nul, on construit un second polynôme annulateur $Q(X) = -P(X)/a_0$. En posant $b_k = -\frac{a_k}{a_0}$ pour $k\in\{1,\dots n\}$, on a $$Q(X) = b_nX^n+\cdots+b_1X - 1 = XR(X) - 1 = R(X)X - 1,$$ avec $R(X) = b_nX^{n-1}+\cdots+b_1$.

Par rapport à $f$, que représente alors $R(f)$ ?

Cordialement,

Mister Da

Magnéthorax

OShine : dans l'exo de départ, avec la deuxième approche ($f\circ\cdots=\cdots\circ f=\mathrm{Id}$), tu n'utilises pas la dimension finie.

OShine

Magnéthorax oui j'utilise la surjectivité car je connais une expression avec $f$ à utiliser. Dans ton exo, il n'y a rien. Comme l'a dit Gebrane, c'était difficile.
Mister Da joli, jamais je n'aurais réussi à trouver cette astuce. 
 $R(f)=b_n f^{n-1} + \cdots + b_1 id_E$ et $Q(f)=0= f R(f)- id$ donc $f R(f)= R(f) f=id$
$R(f)$ est l'inverse de $f$. Donc $f$ est bijectif.

Magnéthorax

Non, il n'y a pas rien. Tu ne vois pas le rapport entre ce que tu as fais pour aboutir à $f\circ(\frac{1}{2}(f^2+2f−id))=id$ et "cette astuce ci-dessus que tu n'aurais jamais réussi à trouver seul" ? Au passage, n'aurais-tu pas aussi $(\frac{1}{2}(f^2+2f−id))\circ f=id$ ?

Gebrane n'était pas sérieux...

OShine

Oui c'est vrai j'aurais pu adapter. Ce n'était pas compliqué.