Joyeux Noël

aléa

Salut à tous

On est le 25 décembre, et je crois qu'il n'y a pas eu de message de joyeux Noël.

Avec le nouveau forum, des habitudes et des habitués se perdent...

Joyeux-Noël, portez-vous bien, dans vos corps et dans vos âmes.

etanche

Quelle est l’aire de toutes les parties vertes de l’arbre de Noël fractale ?

Joyeux Noël à vous.

Dom

Joyeux Noël !

zeitnot

Joyeux Noël à tous, avec une pensée particulière pour ceux qui sont éloignés de leurs proches.

Rescassol

Bonjour,

Joyeux Noël à tous également, et vive(nt) les Mathématiques !!

Cordialement,
Rescassol

Cidrolin

Joyeux Noël. 

Comme aujourd'hui, nous sommes le quintidi 5 nivôse, de l'année CCXXX du calendrier républicain, jour du chien.

Nous pouvons célébrer Sphéroïde le chien de Cosinus.

jelobreuil

Merci, et joyeux Noël à tous ! JLB

biely

Joyeux Noël!

Chaurien

Joyeux Noël à tous, foie gras, champagne, arbre décoré, cadeaux, crèche, comme toujours.

Fr. Ch.

AD

Bon Noël à tous

AD

Philippe Malot

Joyeux Noël à tous les membres du forum !

gebrane

Joyeuse fêtes, entouré de ses proches.
Joyeux Noël pour tous et toutes.

manu

Joyeux Noël à toutes et à tous!
Manu.

manu

Et voici mon petit cadeau:
Convergence et somme pour $n\in\N^*$ de:
$$\sum_{k\geq 1} \dfrac{k \text{ mod } n}{k(k+1)}$$

MrJ

Joyeux noël à tous également!

zeitnot

Pour ma part, je vais me contenter de la convergence...

Boécien

Si on note $S(n)$ la série de Manu je trouve sauf erreur $S(\prod p_{i}^{\alpha_{i}})=\sum\alpha_{i}\log(p_{i})$ où j'utilise la décomposition de $n$ en produits de facteurs premiers.

manu

Bravo Boécien, $S(n)$ vaut en effet $\ln(n)$.

Boécien

Merci Manu. C'est grâce au site que j'ai découvert des propriétés de la fonction digamma qui m'a permis de proche en proche de voir ce résultat en utilisant le fait que $\sum_{k=1}^{q-1}\psi\left(\frac{p}{q}\right)+\gamma=-q\log(q)$ .

Pour le voir sur un exemple concret simple si $n=2^{2}$

\begin{align*}
S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod2^{2}}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)}+\frac{2}{(4k+2)(4k+3)}+\frac{3}{(4k+3)(4k+4)}\\
&=\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+2/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+3/4}-\frac{1}{k+1}\right)
\end{align*}

Il y a donc convergence et pour $x\neq1$ on a $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+x}-\frac{1}{k+1}=-\psi(1+x)-\gamma+1$ donc comme$ \psi(1+x)=\psi(x)+x^{-1}$ en utilisant la relation plus haut j'obtiens $S(n)=2\log2$...

On peut sans doute s'affranchir de mon étape intermédiaire.

Edit : le cas général n'est pas plus compliqué à écrire (coquilles possibles)

\begin{align*}
S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod n}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(nk+1)(nk+2)}+\frac{2}{(nk+2)(nk+3)}+\cdots+\frac{n-1}{(nk+n-1)(nk+n)}\\
&=-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+1/n}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2/n}+\cdots+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+(n-1)/n}\right)
\end{align*}

En utilisant $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+x}=\psi(x)+\gamma$ cela donne $$S(n)=-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1}\psi\left(\frac{j}{n}\right)+\gamma\right)$$En utilisant la formule dérivée de celle de Gauss $\sum_{p=1}^{q-1}\psi\left(\frac{p}{q}\right)+\gamma=-q\log(q)$ j'obtiens $$S(n)=\log n$$

JLapin

Joyeux Noël à tous !

Poirot

Joyeux Noël à tous les membres de ce cher forum !

gerard0

Joyeux Noël à tous.

manu

Bien joué Béocien, j'avais eu une approche bien plus terre à terre:
- pour la convergence c'est facile à cause de la majoration $\frac{k \mod n }{k(k=1)}\leq \frac{n}{k(k+1)}$.
- pour le calcul de la somme:
\begin{align*}
S(n)
&=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} \dfrac{l}{(in+l)(in+l+1)}\\
&=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} l \left(\dfrac{1}{in+l} - \dfrac{1}{in+l+1} \right)\\
&= \sum_{l=1}^{n-1} l \sum_{i=0}^{+\infty} \int_0^1 \left( x^{in+l-1}  - x^{in+l}    \right) dx\\
&= \sum_{l=1}^{n-1} l \int_0^1  \left( \dfrac{x^{l-1}}{1-x^n} - \dfrac{x^{l}}{1-x^n}  \right)\\
&= \sum_{l=1}^{n-1}  \int_0^1 \dfrac{1-x}{1-x^n} l x^{l-1} dx\\
&=\int_0^1 \dfrac{\sum_{l=0}^{n-1} lx^{l-1}}{\sum_{l=0}^{n-1} x^l}\\
&=\left[  \ln( \sum_{l=0}^{n-1} x^l )\right]_0^1\\
&=\ln n.
\end{align*}
La permutation somme et intégrale se justifie en utilisant que l'intégrale du reste d'ordre n de la série tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$.

Boécien

C'est bien plus simple aussi! Joli exercice, il vient d'où Manu?

Calli

Joyeux Noël ! 

manu

@Boécien : c'est un pote qui m'a donné l'énoncé hier. Je crois qu'il le tire d'un putnam.

Boécien

@manu : Ok, merci pour ce cadeau de Noël

gebrane

lëon yppah

df

Le nombre de $\textbf{bits}$ formés de $1$ (…)

c’est la nuit de Noël: un peu de tenue SVP !

df

Un esprit de Noël !

Mister Da

Bonjour,
joyeux Noël à tous également. 
Cordialement,
Mister Da

Piteux_gore

Joyeux Noël à tous !!!

ronan

Bonnes fêtes

Jean--Louis

Joyeux Noël à toutes et tous.

Jean-Louis.

Flora

Hello tout le monde !
Je vous souhaite à tous, d'excellentes fêtes de fin d'année, profitez bien   
Voici mon cadeau ( vu sur Linkedin, apparemment c'était dans un restaurant )  :  

gebrane

Bonsoir Flora La partie méchante de ton intégrale est nulle comme intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique, Je réclame mon cadeau ( tu payes l'addition)

Dreamer

Bonsoir et joyeux Noël, un peu en retard.
Concernant l'intégrale de Flora, les deux interprétations que j'ai calculées conduisent à des valeurs non nulles et différentes, il y avait d'ailleurs fort à parier que ce soit le cas.
J'ai par contre sorti le dx de la racine.
À bientôt.

gerard0

Flora,

voir ce message récent de Dom.

Cordialement.

gerard0

Bonjour Dreamer.

Une fois le dx sorti du radical, il n'y a qu'une seule interprétation possible : $\int_{-2}^2 \left(x^3 \cos(\frac x 2)+\frac 1 2\right)\sqrt{4-x^2}\ dx$ est une expression sans ambigüité.

Cordialement.

Dreamer

Merci Gerard0.
C'est effectivement la bonne interprétation, mais je suis quand même en train d'analyser ma fausse interprétation, qui me semble intéressante au demeurant.
Au passage, pour l'une comme pour l'autre, Wolfram Alpha jette l'éponge après avoir donné bravement 5 malheureuses décimales, ce qui ne permet pas de profiter du wifi gratuit si l'on s'en tient uniquement à cela, au moins pour la bonne interprétation il est facile de rechercher les décimales suivantes, pour l'autre c'est malheureusement bien plus dur.
À bientôt.

evariste21

Bonjour,

Je suis un peu nouveau sur le forum mais j'ai trouvé cet endroit très agréable. Je viens constamment sur le forum pour lire vos commentaires et vos solutions aux problèmes en général, dont j'apprends beaucoup. Je profite de cette occasion pour vous souhaiter à tous une bonne et heureuse année $2022$ . Certes, il reste encore quelques heures avant la fin de l'année mais nous devons aller préparer la nourriture pour la fin de l'année.

Riemann_lapins_cretins

Joyeux Noël et bonne année aux éminents membres de ce forum dont le niveau mathématique me bluffera toujours (parfois en mal mais surtout en bien), à mes quelques compagnons de jeux de mots, et aux disparus tombés après la MàJ.
Que les années suivantes soient plus radieuses que les tristes précédentes pour vous toutes et tous (je me permets un optimiste surréaliste pour faire plaisir aux quelques fans de science fiction), que mes quelques passages sur le forum soient pour moi toujours aussi riches en découvertes, et que le rapport du jury nous dise que les candidats ont en grande majorité réussi leur année 2022 !

Flora

Merci beaucoup Gérard, je ne savais pas du tout que Dom l'avait publié !
Et sinon yes Dreamer, il faut les 10 digits sinon pas de wifi gratuite mais votre réflexion est intéressante ;-) 

( PS: désolée pour la réponse tardive, je suis sous l'eau en ce moment, j'ai commencé mon 2ème stage de césure dans le luxe  et c'est chaque jour la course du matin au soir...Mais j'adore ce que je fais !)

Aller il est l'heure d'aller dodo,
Très belle soirée à tous, 
F.