Matrices et image

Mister Da

$\renewcommand{\im}{\operatorname{im}}$Bonjour à tous,

avec $m>n$ on considère deux matrices $V$ et $W$ de $\mathbb{R}^{m\times n}$ de rang $n$. Dans $\mathbb{R}^m$, on voit les colonnes de ces deux matrices forment une base des espaces qu'elles génèrent que je note $\mathcal{V} = \operatorname{im} V$ et $\mathcal{W} = \operatorname{im} W$.

La question que je me pose est : existe-t-il une matrice $Q\in\mathbb{R}^{m\times m}$ symétrique définie positive telle que $\mathcal{W} = \operatorname{im} QV$ ?

En utilisant l'équivalence des matrices et différentes décompositions, j'ai essayé de montrer que oui mais je n'arrive à rien.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Cordialement,

Mister Da

igorf

Bonjour,
tu demandes si pour chaque paire de sous-espaces de $\mathbb R^m$, de dimensions égales, il existe un opérateur symétrique défini positif sur $\mathbb R^m$ envoyant l'un d'eux sur l'autre. C'est faux : on ne peut pas envoyer une droite sur une droite orthogonale, car on a $\langle v, Av \rangle>0$ pour chaque vecteur $v$. Par example, dans le plan euclidien standard $Oxy$, on ne peut pas envoyer l'axe $Ox$ sur $Oy$ par un opérateur symétrique défini positif.

Mister Da

Bonjour,

merci pour ta réponse. Tu as parfaitement reformulé ma question de manière élégante ! Effectivement, ça capote pour le cas particulier que tu évoques et je viens de me rendre compte qu'implicitement j'ai supposé une hypothèse ... donc forcément : je suppose que $\det(W^TV) \neq 0$ (où $W^T$ désigne la transposée de $W$) ce qui écarte le cas particulier. J'espère avoir tout précisé maintenant. Je me suis mis dans le formalisme matriciel car je pensais pouvoir utiliser des décompositions qui vont bien mais je galère.

Pour le vocabulaire, mets-tu une subtilité entre opérateur symétrique et opérateur autoadjoint ?

Cordialement,

Mister Da

igorf

La nouvelle question est la suivante : soient $\mathcal V,\mathcal W$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^m$ tels que la projection orthogonale de $\mathcal W$ sur $\mathcal V$ est un isomorphisme ; existe-t-il un opérateur symétrique défini positif sur $\mathbb R^m$ qui applique $\mathcal W$ sur $\mathcal V$ ? Je pense que oui ; construisons-le comme ça :

1) On se réduit au cas où $\mathbb R^m = \mathcal V\oplus\mathcal W$ (on peut prendre l'opérateur identité sur $\mathcal V\cap\mathcal W$ et sur $(\mathcal V+\mathcal W)^\perp$, il reste de le définir sur le complément orthogonal de la somme de ses deux espaces).

2) De la même façon, on se réduit au cas où $m=2$ et $\mathcal V, \mathcal W$ sont des droites (forcément non orthogonales).

3) On choisit une base orthogonale $e_1,e_2$ de $\mathbb R^2$ telle que ni $e_1$ ni $e_2$ n'appartiennent ni à $\mathcal V$ ni à $\mathcal W$. Ce seront nos vecteurs propres ; il est facile de choisir les valeurs propres de telle manière que tout marche bien.

igorf

Mister Da a dit :

Pour le vocabulaire, mets-tu une subtilité entre opérateur symétrique et opérateur autoadjoint ?

Je ne le mets pas, moi, quand l'espace est de dimension finie.

Mister Da

Bonjour,

merci énormément pour ta reformulation et la construction c'est effectivement beaucoup plus convaincant que mes sombres élucubrations.

Maintenant que l'existence est acquise, j'ai essayé de suivre tes traces avec mes matrices sous le bras en me battant à coup de pseudo inverse et de décomposition en valeurs singulières pour essayer de construire une telle matrice $Q$ en partant de $V$ et $W$ mais pour le moment je tourne lamentablement en rond. Si je m'en sors, je reviendrai pour en faire part.

Cordialement,

Mister Da

Mister Da

Bonjour,

après avoir tourné en rond, j'ai fini par me faire aider par un anonyme sur stackexchange que je remercie. Si jamais cela intéresse quelqu'un, voici donc la construction d'une matrice $Q$ qui fait l'affaire : $$Q = W(W^TW)^{-1}W^T + (I -  V(V^TV)^{-1}V^T)\;.$$ Comme $QV = W(W^TW)^{-1}W^TV$ et que $(W^TW)^{-1}W^TV$ est inversible, la matrice $QV$ a la même image que $W$.

Comme $Q$ est la somme de deux projecteurs orthogonaux elle est symétrique semi-définie positive.

Enfin, en considérant un vecteur $x$, si $x^TQx = 0$, alors $x^T W(W^TW)^{-1}W^Tx = 0$ et  $x^T(I -  V(V^TV)^{-1}V^T)x = 0$. De la dernière égalité, on tire que $x$ appartient à $\mathcal{V}$. Il existe donc un $y$ tel que $x = Vy$. Et en injectant ceci dans la première égalité $y^TV^T W(W^TW)^{-1}W^TVy = y^TV^T W(W^TW)^{-1}W^TVy = 0$ ce qui implique que $y=0$ donc $x=0$. Ainsi $Q$ est définie.

Cordialement,

Mister Da

igorf

Oh, j'aurais dû me rendre compte que la somme des projecteurs fait l'affaire.

Merci et bonne année !

Mister Da

C'est précisément ce que je me suis dis et pourtant j'ai planché sur cette question sans rien voir... je me navre tout seul.

Merci à toi pour ton aide, bonne année également et au plaisir d'une autre rencontre sur le forum.

Cordialement,

Mister Da