EDO avec condition initiale aléatoire

Naruto30

Bonjour

Supposons qu'on a une certaine edo $y'(t)=F(y(t))$ (autonome pour simplifier) et que je tire ma condition initiale $y_0$ selon une densité $f_0(x)$.

Est-il possible d'en déduire une EDP sur la densité $f(t,x)$ de la variable aléatoire $y(t)$ ?

Merci d'avance.

[En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]

gerard0

Bonjour.

Pour que ce soit clair : Dans quel espace mesuré varie ta variable aléatoire que tu as notée y(t) ? Car tes notations y(t) et f(t,x) jettent un gros doute sur ta question.

Cordialement.

Naruto30

Disons que y0 est une variable aléatoire absolument continue de densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) sur R^n en notant sa densité f_0(x) qui est de plus de carré intégrable. f(t,x) désigne la densité de la var y(t) (f_0(x)=f(0,x))

Georges Abitbol

Hum, j'ai l'impression que le langage probabiliste obscurcit les choses, ici. Supposons que l'espace a une dimension, que $F$ est suffisamment régulière et qu'il a existence et unicité des solutions.

Soit, pour tout $t$, $\phi_t$ le flot de l'équation différentielle, i.e. l'unique application de l'espace des phases dans lui-même telle que pour tout point $y_0$, l'unique solution de $y' = F(y)$ telle que $y(0) = y_0$ vaut $\phi_t(y_0)$ en $t$. Ainsi, pour tout $y_0$, $t \mapsto \phi_t(y_0)$ est l'unique solution qui passe par $y_0$ en $0$. Ainsi, $(t \mapsto \phi_t(y_0))'(t) = F(\phi_t(y_0))$.

On pose alors, pour tout $(t,x)$, $f(t,x) := f_0(\phi_{-t}(x))$. Je crois que c'est bien ça, ta $f$ : la "densité" en un point $x$, au temps $t$, c'est la densité (selon $f_0$, du point où on est parti pour arriver à $x$ (qui est donc $\phi_{-t}(x)$).

On a alors $\frac{\partial f}{\partial t} f (t,x) = -f'_0(\phi_{-t}(x)) \left(F(\phi_{-t}(x) \right)$, et $\frac{\partial f}{\partial x} f(t,x) = f'_0(\phi_{-t}(x)) \phi'_{-t}(x)$. Ben à partir de là, je ne sais pas trop quoi dire !

gerard0

Pour ma part, je pense que l'écriture y(t) des solutions des EDO obscurcit le fait que l'on parle d'une fonction aléatoire. Ce qui fait que la notion de densité n'a pas trop de sens (il ne s'agit pas d'une variable aléatoire réelle).

Si Naruto30 veut bien essayer de donner un exemple explicite de situation qu'on puisse traiter, on pourra avancer.

Cordialement.

Calli

Bonjour,
Comme Georges, je note $\phi_{t} (x)$ le flot de $F$ et je suppose $F$ localement lipschitzien (et je vais tout faire comme si le flux était défini en tout temps, pour simplifier). Alors pour tout $t\in \mathbb{R}_+$ et toute fonction mesurable $h:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}_+$, $$\begin{eqnarray*} \int _{\mathbb{R}^{d}} h(x) f(t,x)\,\mathrm{d}x &=& \mathbb{E}[h(y(t))] \\ &=& \mathbb{E}[h(\phi_{t} (y_{0} ))] \\ &=& \int _{\mathbb{R}^{d}} h(\phi_{t} (x)) \, f_{0} (x)\,\mathrm{d}x \\ &=& \int _{\mathbb{R}^{d}} h(x) \, f_{0} (\phi_{-t} (x)) \, \det(\mathrm{d}\phi_{-t}(x)) \,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$$ par changement de variable $x\rightsquigarrow \phi_{t} (x)$. Donc : \[\forall (t,x)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} , \quad  f(t,x) = f_{0} (\phi_{-t} (x)) \,\det(\mathrm{d}\phi_{-t}(x)).\]
Montrons que $f$ vérifie l'EDP $$\fbox{$\partial _{t} f+\mathrm{div}_{x} (fF)=0$}$$ avec donnée initiale $f_{0}$ au sens faible ainsi : $f\in L^{1} _{\mathrm{loc}} (\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} )$ et $\forall u\in \mathcal{C}^{\infty } _{c} (\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} ),$ \[\iint_{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } (f\, \partial _{t} u+fF\cdot  \nabla _{x} u ) + \int _{\mathbb{R}^{d}} f_{0} \,u(0,\cdot )=0.\] (Prenez ça comme une définition de "vérifier $\partial _{t} f+\mathop{\mathrm{div}}(fF)=0$ au sens faible" que je pose, mais c'est un type de formulation faible classique donc je n'invente pas n'importe quoi.)
Pour cela, il suffit de calculer : $$\begin{eqnarray*} \iint_{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } (f\,\partial _{t} u+fF\cdot  \nabla _{x} u ) &=& \iint_{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } f_{0} (\phi_{-t} (x)) \det(\mathrm{d}\phi_{-t}(x))\, [\partial _{t} u(t,x)+F(x) \cdot  \nabla _{x} u(t,x) ] \, \mathrm{d}t\,\mathrm{d}x \\ &=& \iint_{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } f_{0} (x) \, [ \partial _{t} u(t,\phi_{t} (x))+ \underbrace{F(\phi_{t} (x))}_{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \phi_{t} (x) } \cdot  \nabla _{x} u(t,\phi_{t} (x)) ]\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x \\ &=& \iint _{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } f_{0} (x)\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \big[ u(t,\phi_{t} (x)) \big] \mathrm{d}t\,\mathrm{d}x \\ &\overset{\text{IPP}}{=}& - \int _{\mathbb{R}^{d}}  f_{0} (x) \, u(0,\phi_{0} (x))\,\mathrm{d}x \\ &=& - \int _{\mathbb{R}^{d}} f_{0} (x) \, u(0,x) \, \mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$$
Enfin, si $f_{0}$ et $F$ sont $\mathcal{C}^{1}$, alors des IPP sur la formulation variationnelle ci-dessus montrent que $f$ vérifie l'EDP au sens fort (égalité des dérivées classiques) : $\forall (t,x)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{d} , \; \partial _{t} f(t,x)+\mathrm{div}_{x} (fF)(t,x)=0$.

Calli

Allez, je détaille vite fait comment on conclut dans le cas $\mathcal{C}^{1}$. On a : $\forall u\in \mathcal{C}^{\infty } _{c} (\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{d}),$ $$\begin{eqnarray*} \iint_{\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{d} } (\partial _{t} f +\mathrm{div}_{x} (fF))\,u &=& \int _{\mathbb{R}^{d}} \int _{\mathbb{R}_+} \partial _{t} f \,u + \int _{\mathbb{R}_+} \int _{\mathbb{R}^{d}} \mathrm{div}_{x} (fF) \,u \\ &\overset{\text{IPP}}{=}& \int _{\mathbb{R}^{d}} \left( - f_{0} \,u(0,\cdot ) - \int _{\mathbb{R}_+} f\,\partial _{t} u \right) - \int _{\mathbb{R}_+} \int _{\mathbb{R}^{d}} fF\cdot \nabla  u  \\ &=&  -\int _{\mathbb{R}^{d}} f_{0} \,u(0,\cdot ) - \iint_{\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d} } (f\,\partial _{t} u+fF\cdot  \nabla _{x} u ) \\ &=& 0. \end{eqnarray*}$$ Donc $\partial _{t} f +\mathrm{div}_{x}(fF) = 0$.

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Remarquez cette EDP s'interprète comme une équation de conservation de la grandeur $f$ au cours du temps car elle est de la forme $\partial _{t} f +\mathrm{div}_x (J)=0$ où $J$ est le champ vectoriel égal au déplacement de $f$. On rencontre des équations similaires en physique, par exemple l'équation de conservation de la charge $\partial _{t} \rho  +\mathrm{div}_x ( \vec\jmath )=0$ en électromagnétisme.

Naruto30

Bonjour

Merci beaucoup pour cette réponse très satisfaisante.

J'avais cependant quelques interrogations.

1) Au départ j'avais un petit problème avec le fait qu'il n'y avait pas de valeur absolue dans le changement de variables. Mais au final ça ne change rien car dans le second changement de variable les deux jacobiens se compensent.

2) On a supposé que le flot existe pour tout $t$ (ce qui est le cas si $F$ est $C^1$ et globalement lipschitzienne). Est-ce que la même méthode se généralise ? En effet, même en utilisant une inversion locale (encore faut-il que le jacobien de $\phi$ soit inversible) les domaines de l'intégrale de gauche et de droite ne seront pas les mêmes dans la première égalité ce qui nous empêchera de conclure ?

Calli

1) À l'origine l'absence de valeur absolue autour de $\det(\mathrm{d}\phi_{-t}(x))$ est un oubli. Cependant, si $F$ est $\mathcal{C}^1$, alors $t\mapsto \mathrm{d}\phi_{-t}(x)$ est continu et $\phi_0=\mathrm{id}$, donc $\det(\mathrm{d}\phi_{-t}(x))$ reste positif (c'est aussi vrai si $F$ est juste localement lipschitzien, mais plus dur à prouver il me semble).

2) Notons, pour tout $x$, $T_\max(x)$ le temps maximal d'existence de $t\mapsto \phi_t(x)$, et posons $$T_0 :=\text{inf-ess}_{f_0} T_\max(x) := \sup\{T>0  \mid T\leqslant T_\max(x)\; \text{ $f_0$-p.s.}\}.$$ Alors, si $T_0>0$ (car il est possible que $T_0$ soit nul), tout ce que j'ai fait reste valable en remplaçant la plage de temps $\Bbb R_+$ par $[0,T_0[$, et en remplaçant à l'instant $t$ le domaine d'espace $\Bbb R^n$ par $\phi_t(\{x\in\Bbb R^n \mid T_\max(x)\geqslant T_0\})$. En dehors de ce domaine, $f(t,\cdot)$ est nulle car la mesure de proba $\Bbb P_{y(t)}=f(t,\cdot) \,\lambda$ est le poussé en avant de $\Bbb P_{y_0} = f_0\,\lambda$ par $\phi_t$. Mais pour les temps $t\geqslant T_0$, la question n'a même plus de sens car, la variable aléatoire $y(t)$ n'étant plus défini p.s., demander sa densité ne veut plus rien dire.
Par exemple, si $F:x\mapsto x^2$, alors $T_\max(x)=+\infty\Leftrightarrow x\leqslant 0$. Donc si $y_0<0$ p.s. on aura $T_0=+\infty$, et si $y_0>0$ p.s. on aura $T_0<\infty$.

Naruto30

Merci pour ces éclaircissements et cette clarté dans les explications

Calli

De rien. J'ai corrigé deux coquilles dans les inégalités au niveau des "$\geqslant T_0$".